2.4平面向量的数量积19

5.6平面向量的数量积及运算律(一)教学目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义。2、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。3、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题。4、掌握向量垂直的条件。教学重点：平面向量的数量积定义。难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。平面向量的数量积：1ab,、定义：已知两个非零向量和它们的夹角为ab=abcos规定零向量与任一向量的数量积为0。理解：1ab是一个，而不实数是向量。2ab的符号决定于角。03a,bab=0=90ab若是非零向量，则与垂直000180,abcosab数量积则叫做与的或内积，ab记作教材例12、数量积的几何意义：bcos叫做向量b在a方向上的投影。abθab的几何意义是：数量积等于的长度|a|与在方向上的投影的乘积。aab3、向量的数量积的性质：a,bebae设为非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角。1ea=ae=acos2abab=03abab=ab与同向ab4cos=ab5=abcosabababab=-ab与反向222aa=a=aa=a或4、数量积的运算律ab=ba12ab=ab=ab=aba+bc=ac3bc+abcabc注意：ab=acb=c.不能推出ab=0a=0b=0不能得出或222()abab随堂练习11a=2,b=,ab60ab211ABC1D224、若与的角是，那么等于、、、、夹A2a=12,b=9,ab=-542,abA45B135C60D120、若那么与的角是、、、、夹B3ABCAB=a,AC=b,ab=0,ABC、已知，那么是A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形B10a=0;20a=0;30-AB=BA;4ab=ab4、有四个式子，其中正确的个数是A、4B、3C、2D、1C5ab0,abA0B,C,D,2222、若那么与的交角的取值范、，、、、围是D226a,bAab=1Ba=bCa=bDab=0、已知都是位向量，下列正确的是、、、、单B7abab=aba,b、，是非零向量，是共线的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不必要也不充分的条件A12121a-b=0,a=b;2ab=0,a=0b=0;3Ra=0,=0a=0;4e,e,ee1若那么若那么或若且那么或任意位向量都有8、有四个命题，其中正确的命题是A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④单C9a=2,b=1,ab120ab=___、已知与的夹角是，那么-110a=6,e、已知为单位向量，它们之间的夹角为120oae______那么在方向上的投影是-311a=3,b=5,ab=12,ab______、已知且那么向量在向量的方向上的投影是12512ABCAB=AC=4ABAC=8ABC、在中，已知，且，那么的形状是_____________正三角形例1：已知a=4,b=3,求ab1)a∥b2)a⊥b3)a,b夹角为600cos=1ab=ab12=cos=0a=0b1cos=2a=6b（三维）2a=3,b=2,ab30ab,2a+bb,a+b.例、已知与的交角是，求3ab=abcos30=32=332解：2a+bb=2ab+bb=63+4222a+b=a+b=a+2ab+b=9+63+4=13+63（例1变式）三维例23ABCC=90AB=22,1ACAB;2CAAB;3BCCA+AB;4AB-ACCA例、在等腰直角中，，求的值的值的值的值。ABC1)ACAB=ACABcos45解：2=222=422)CAAB=-ACAB=-423)BCCA+AB=BCCB=-BC=-44)AB-ACCA=CBCA=0（例2变式）4a,ba=3,b=2,a+b=13,a+ba-b例、已知向量足求向量和的交角的余弦值。满222a+b=a+2ab+b=3+2ab+4=2ab=613解：22a+ba-ba-b3-4cos====1313a+ba--3b131222a-b=a-2ab+b=3-6+4=1（三维）5m,n例、是两个单位向量，其夹角是60o,试求向量a=2m+nb=2n-3m与的夹角。1mn=mncos60=2解：22a=4m+4mn+n=4+2+1=722b=4n-12mn+9m=4-6+9=72217ab=2m+n2n-3m=2n+mn-6m=2+-6=-227-2cos==717-2θ=120o（例3变式）学后反思1、理解两个向量与的数量积是一个数，而不是ab一个向量，其值定义为ab=abcos,ab其中是与的夹角，而bcosba是向量在方向上的投影。区别，如果a,b是实数时,ab=0则a,b中至少有一个是零2、注意两个向量与的数量积与两个实数乘积的ab当a,b为非零向量时，ab=0ab.2222223a=a,ab=a2ab+b,a+ba-b=a-b、4、注意向量的数量积的三个运算律中没有“结合律”abcabc,a,bc即，是非零向量