5-8无穷限的广义积分的审敛法

一、无穷限的广义积分的审敛法收敛．上有界，则广义积分在．若函数且上连续，在区间定理１　设函数axadxxfadttfxFxfaxf)(),[)()(0)(),[)(不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理．也发散．发散，则且并也收敛；如果收敛，则并且上连续，如果区间在、设函数比较审敛原理　定理aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),[)()()(2证.)()()()()()(0ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收敛，得及，由设上有上界．在即),[)()(adxxfbFba由定理１知收敛．adxxf)(.)(,)(),()(0必定发散则发散且如果aadxxfdxxgxfxg也收，这与假设矛盾．收敛，由第一部分知如果aadxxgdxxf)()(例如，时发散．当时收敛；当广义积分11)0(Ppaxdxap发散．则，，使得常数收敛；如果存在则，使得及存在常数如果上连续，且在区间设函数比较审敛法１　定理aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10.0)()0(),[)()(3例１.1134的收敛性判别广义积分xdx解,111103/43434xxx,134p根据比较审敛法１，.1134收敛广义积分xdx发散．则或如果收敛；存在，则使得，如果存在常数上连续，且在区间设函数极限审敛法１　定理axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1.0)()0(),[)()(4例２.112的收敛性判别广义积分xxdx解,111lim22xxxx所给广义积分收敛．例３.1122/3的收敛性判别广义积分dxxx解2222/31lim1limxxxxxxxx,根据极限审敛法１，所给广义积分发散．例４.arctan1的收敛性判别广义积分dxxx解xxxxxxarctanlimarctanlim,2根据极限审敛法１，所给广义积分发散．也收敛．收敛；则如果上连续，在区间　设函数定理aadxxfdxxfaxf)()(),[)(5证).)()((21)(xfxfx令,)()(0)(xfxx，且,)(收敛dxxfa.)(也收敛dxxa,)()(2)(xfxxf但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaadxxfdxxdxxf即收敛..)(5称为绝对收敛条件的广义积分满足定理定义adxxf必定收敛．绝对收敛的广义积分adxxf)(例5.)0,(sin0的收敛性常数都是判别广义积分abadxbxeax解.,sin0收敛而dxeebxeaxaxax.sin0收敛dxbxeax所以所给广义积分收敛.二、无界函数的广义积分的审敛法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim,0)(],()()2(60发散则广义积分，使得及收敛；如果存在常数则广义积分，使得及常数如果存在上连续，且在区间设函数比较审敛法　定理baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf发散．分则广义积或，使得如果存在常数收敛；则广义积分存在，使得如果存在常数上连续，且在区间　设函数极限审敛法定理７baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim,0)(],()()2(0000例6.ln31的收敛性判别广义积分xdx解的左邻域内无界．被积函数在点1x由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101,01根据极限审敛法2,所给广义积分发散.例7.1sin31的收敛性判别广义积分dxxx解也收敛．从而dxxx101sin收敛，而０1,11sinxdxxxx收敛，dxxx101sin根据比较审敛原理,)0()(01sdxxessx定义特点:1.积分区间为无穷;.001.2右领域内无界的时被积函数在点当xs,,1121011dxxeIdxxeIsxsx设;,1)1(1是常义积分时当Is,10时当s函数三、,111111sxssxxexxe.,2,111收敛根据比较审敛法而Is,0lim)(lim)2(112xsxsxxexxex.,12也收敛根据极限审敛法I.0)2(),1(01均收敛对知由sdxxesxs)(so－函数的几个重要性质：).0()()1(ssss１．递推公式.)(0ss时，２．当).10(sin)1()(3ssss．余元公式.2)()(0122012duuesuxdxxessusx有，中，作代换４．在四、小结比较审敛法１极限审敛法１无穷限的广义积分审敛法比较审敛法２极限审敛法２无界函数的广义积分审敛法广义积分审敛法绝对收敛练习题;23.4;)(ln.3;1sin.2;1.12132213120242xxdxxdxdxxdxxxx的收敛性：一、判别下列广义积分.)1(ln.2);0(.1100dxxndxepxn收敛范围：指出这些积分的函数表示下列积分，并二、用).21()(2)2(:12nnnnn为自然数）三、证明（其中练习题答案一、1、收敛；2、收敛；3、发散；4、收敛；.1),1(2;0),1(11ppnnn、、二、