第五章 截面几何图形性质

1§5-1静矩和形心§5-2惯性矩和惯性积§5-3平移轴公式§5-4转轴公式第五章平面图形的几何性质§5-5主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩2§5-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩）1、定义：dA对y轴的微静矩:AyAzzdASydASyzdAyzo2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的微静矩:ydAdSzzdAdSy3、静矩的值可以是正值、负值、或零。3yzdAyzo4、静矩和形心的关系可知AdAzzAdAyyACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS静矩和形心的关系由平面图形的形心公式结论：图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。4zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0求图形对y、z轴的静矩5二、简单图形的形心1、形心坐标公式：AydAASyAzcAzdAASzAyc2、形心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。6三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、组合图形的形心：izicASyiyicASzAyAciiAzAcii利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单基本图形----指面积、形心位置已知的图形7212211AAzAzAAzAzccciic例试确定下图的形心。212211AAyAyAAyAyccciic8010c(19.7;39.7)zyC1C2解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形mmymmzmmAcc5,45,7001121mmymmzmmAcc60,5,12002222120120070012005700452)、求形心)7.19mm)(7.3912007001200607005mm88010)(3.20108011010110035mmc(-20.3;34.7)解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示zyC2C1.0,0,8001121ccyzmmAmmymmzmmAcc60,35,110022222)、求形心)(7.34108011010110060mm212211AAzAzAAzAzccciic212211AAyAyAAyAyccciic9解法三：负面积法)(7.19117812)77(459640mmzymmymmzmmAcc60,40,96001121mmymmzmmAcc65,45,1107022222C求形心：)(7.397796)77(659660mm1C0C212211AAzAzAAzAzccciic212211AAyAyAAyAyccciic801010zy10§5-2惯性矩和惯性积一、简单图形的惯性矩1、定义：dA对z轴的惯性距:dA对y轴的惯性距:2、量纲：m4、mm4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。5、极惯性矩：（对o点而言）AodAI2pI222yz图形对z轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:116、惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzIIyzdAzyo12bhzccyc7、简单图形惯性矩的计算⑴圆形截面：实心（直径D）——空心（外径D，内径d）——4641DIIyz)(64144dDIIyz⑵矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc13二、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、简单图形的惯性积1、定义：2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。3、惯性积是对轴而言。AzyzydAI4、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzyo5、规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。14解：AaIdAyadAadAydAaydAyIzcAcAAcAcAz222222)(AbIdAzbdAbdAzdAbzdAzIycAcAAcAcAy222222)(zyoyczcczcyc已知：图形截面积A，形心坐标yc、zc、Izc、Iyc、a、b已知。Zc轴平行于z轴；yc轴平行于y轴。求：Iz、Iy。§5-3平行移轴公式一、平行移轴公式AAcczydAbzayyzdAI))((abAIdAybdAzaabdAdAzyzcycAAccAAccdAyzab15二、组合图形的惯性矩和惯性积zizIIyiyIIziyizyII注意：ZC、YC为形心坐标。a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，，zyoyczcczcycdAyzab——平行移轴公式根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：16例求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：§A-1222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAxπ328π1223dddASyxcxyb(y)ycCdxc172、求对形心轴xc的惯性矩128π264π44ddIxπ18128π8π)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxcπ328π1223dddASyxc18例试求图a所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对x轴的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一个半圆对其自身形心轴xc轴的惯性矩（见上例）π18128π8π)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040a+2d3193、一个半圆对x的惯性矩由平行移轴公式得：44222222mm103467π322324π8ππ32adaddddaIIcxx4、整个截面对于对称轴x的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(a)d=8040100a=10040a+2d320§5-4转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式dA在坐标系ozy和坐标系oz1y1的的坐标分别为（z，y）和（z1，y1）sincossincos11zyyyzz代入惯性矩的定义式：AyIAzd211zyOzyABCDEdA已知：A、Iz、Iy、Izy、。求：Iz1、Iy1、Iz1y1。21cossin2sincosdcossin2dsindcos2222221zyyzAAAzIIIAzyAzAyI利用二倍角函数代入上式，得转轴公式：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII的符号为：从z轴至z1轴逆时针为正，顺时针为负。AyIAzd211zyOzyABCDEdA22yzyzIIII11上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩将前两式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyABCDEdA232cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyzzIIIIIIIddI001ddIz令0§5-5主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩242200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得和两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出代入转轴公式可得：002cos,2sin000yzI且252、主惯性矩（主矩）：图形对主轴的惯性矩Iz0、Iy0称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。3、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc=0。zc、yc为形心轴。zc、yc为形心主轴）。4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（Izc、Iyc）。由此引出几个概念：1、主惯性轴（主轴）：y0,z0如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的主惯性轴。（，轴为主轴）。000yzI265、求截面形心主惯性矩的基本步骤1)、建立坐标系。2)、求形心位置。3)、建立形心坐标系；并求：Iyc，Izc，Izcyc，AyAASyAzAASzciizciiyc4)、确定形心主轴位置——0：yzzyIIItg2205)、求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII±276、几个结论•若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。•若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。•若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。28