chapt12截面的几何性质解析

附录I平面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质◆研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。例如在杆的拉（压）计算中所用的横截面面积A，在杆的扭转计算中所用的极惯性矩Ip，在梁的弯曲计算中所用的横截面的静矩、惯性矩和惯性积等。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。1.静矩AyAxxdASydAS附录I平面图形的几何性质§I-1截面的静矩和形心的位置2.形心AAxxAAyyACACdd均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心是重合的3.形心与静矩的关系AxSAySASxASyCyCxyCxC或结论：(1)静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。静矩可正、可负、可为零；静矩常用单位为m3或mm3。(2)如果已算出静矩，就可确定形心的位置，反之亦然。(3)某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零；图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心。有一个对称轴：形心C位于该轴上yCzzyC有两个对称轴：两个对称轴的交点就是形心C的位置Czy对某点对称（中心对称）：形心C位于对称中心4.平面图形形心和静矩的确定对于简单的、规则的图形和对称图形，其形心位置可以直接判断，例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。(1)简单的、规则的图形例I-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，ydyrAd-222所以3022322ryd)yr(yAdySrAx-3423223r/r/rASyxC(2)组合图形的形心与静矩①组合图形的静矩CiiyiyCiixixxASSyASS②组合图形的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例I-2求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8.38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：xC=01.极惯性矩：2.惯性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2为图形对一点的极惯性矩；xydAxyO3.惯性积：为图形对x、y一对正交轴的惯性积；AxyxydAI分别为图形对x、y轴的惯性矩；§I-2极惯性矩惯性矩惯性积4.惯性半径AIiAIixxyy,iy和ix分别称为截面对于y轴和x轴的惯性半径，其单位为m或mm.②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩.5.①惯性矩与极惯性矩的关系：xyAApIIdA)yx(dAI222平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则例I-3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx-123hbIy又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到Iρ=Ix+Iy，得到例I-4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Iρ。dCxyd解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心O为处作宽度为d的薄圆环，其面积dA=2d，则32)d2(d42/022dAIdA64214dIIIyx一、平行移轴公式(parallel-axistheorem)1.公式推导2.平行移轴公式abAIIAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。移轴后惯性积有可能增加也可能减少。3.注意：①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，，二、组合图形的惯性矩：OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：、、，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxIA2xdAyIA2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya(A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxCAbII2yyC同理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA，，AxyxydAIACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb(ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA，，，abAIICCyxxy例I-5求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530例I-6已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：423236362312323223232121bhbhhbhAaIIbhbhhbhAaIICCxxxx--303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩(1)求形心的位置：取参考坐标系如图，则：iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211即截面的形心轴。、CCzy(2)求截面对形心轴的惯性矩：433ymm115601230512530IC4222Cz121Cz222z121zzmm34530]A)yy(I[]A)yy(I[)AaI()AaI(I2C1C2C1CC--由平行移轴定理得：yCzyCzC一、惯性矩和惯性积的转轴公式(rotation-axistheorem)1.公式推导：2.转轴公式：-----2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的为正。§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩y1=|AC|dAy1x1y1x1yxDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、，求、、。1xI1yI11yxIA21xdAyI1-A2xdA)sinxcosy(I1=|AD|-|EB|=ycos-xsin-2yxy2xsinIcossinI2cosI-A2222dA)sinxcossinxy2cosy(利用三角变换，得到2sin2cos221xyyxyxxIIIIII--同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin----2cosI2sin2IIIasinI2cos2II2IIIxyyxyxxyyxyxy111得到③形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解；②主轴与x轴的夹角:yxxyIIItg--220③由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：①主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴,即；②形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴.2cos2sin211xyyxyxIIII-0xyI意义——对于给定的截面，选择坐标系使惯性矩最大（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小01ddIx0)2cos2sin2(2--xyyxIIIyxxyIIItg--2201ddIy011yxI说明取极大（或极小）惯性矩时惯性积等于零④求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。②与主轴方位的对应关系：求0时只取主值|20|≤/2)，若IxIy，则由x轴转过0到达x0轴时，有；若IxIy，则。注意，0为正值时应逆时针旋转。maxxII0minxII0③任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。3.主惯性矩大小：①22minmax22xyyxyxIIIIIII-有对称轴截面的惯性主轴xyCdAdAyyz-zIxy=(xiyidA-xiyidA)=0当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法◆工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。◆因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。1.将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。2.以形心为坐标原点，设Oxy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Ix、Iy和Ixy。4.计算形心主惯性矩Ix0和Iy0。3.确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角。组合图形的形心主轴和形心主矩的确定步骤：12010101070例I-7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0x00图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为IIIxIIxIxxIIII2)1060()560(12106023-46mm1008.51212010346IIIyIIyIyymm1084.1IIII46IIIxyIIxyIxyxymm1031.2IIII-426.1III22tgyxxy0--'2827o0minymaxx0oyx0IIIIx'2827xII4/000，，转到主轴轴逆时针旋转自，，-46462xy2yxyxminmaxmm1064.0mm1028.6I2II2IIII形心主惯性矩大小例I-8求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1解：由于：0124xyyxIaII，，22sincos221yxxyyxyxxIIIIIIII--则同理，21yxyIII011yxI截面几何性质小结2.Iz、Iy恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置有关3.对形心轴静矩为0，对称轴Iyz=0，对称轴就是形心主惯性轴。4.平行移轴公式中，