自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

判断系稳定性的方法一、稳定性判据（时域）1、赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正；将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；021231425310000000000000000000aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即0000031425313231211nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；若已知系统的特征方程为0516188234ssss试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。51810016800518100168由△得各阶子行列式；086900172816805181016801281811680884321各阶子行列式都大于零，故系统稳定。2、劳思判据（1）劳思判据充要条件：A、系统特征方程的各项系数均大于零，即ai0；B、劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。（2）劳思计算表的求法：A、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：1011212432134321275311642wsvsuusccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnnB、计算劳思表176131541213211nnnnnnnnnnnnnnnaaaaabaaaaabaaaaab系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c，d，e等各行的系数。121211141713131512121311ccbbcdbbaabcbbaabcbbaabcnnnnnn（3）劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例1：已知系统特征方程为0126322345sssss判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得：136231362301622310212345ssssss当ε→0时，233623，362故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。例2：已知控制系统的特征方程为0161620128223456ssssss试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得：00861)16122(861)16122(162081344556ssssss因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下：8624sssA将A(s)对s求导，得：sssAdsd1243再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：8318331)124(86186116208101233456ssssssss从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。共轭虚根可通过辅助方程求得08624ss其共轭虚根为jsjs2；24，32，1，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。二、根轨迹法（复域）系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例：已知系统的开环传递函数为G(𝑆)=𝑘𝑠(𝑠+1)(0.5𝑠+1)，试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解：G(𝑆)=2𝑘𝑠(𝑠+1)(𝑠+2)=𝐾∗𝑆(𝑆+1)(𝑆+2)(K*=2k)做根轨迹：（a）有三条根轨迹（n=3m=0n-m=3）（b）实轴上（0,−1）(−2,−∞)为根轨迹段（c）渐近线的夹角与坐标：𝜑𝑎=(2𝑘+1)𝜋𝑛−𝑚={±60°,180°},𝜎𝑎=(−1)+(−2)3=−1（d）分离点坐标d：1𝑑+1+1𝑑+2+1𝑑=0解得d1=-0.423d2=-1.58（舍去）因为d2不在根轨迹上（e）与虚轴的交点坐标：D(𝑆)=𝑆3+3𝑆2+2𝑆+𝐾∗令S=jw代入到式中得：D(𝑗𝑤)=(𝑗𝑤)3+3(𝑗𝑤)2+2(𝑗𝑤)+𝐾∗解得：{−𝑤3+2𝑤=0−3𝑤2+𝐾∗=0故𝑊1=0,𝑊2=±1.414,𝑊3=±1.414,𝐾∗=6,𝐾=3根轨迹图如下所示：三、频率特性1、奈氏判据（奈奎斯特判据）Z=P-2N系统稳定时Z=0由开环传递函数在S平面的极点个数P，奈氏曲线绕（-1，j0）的圈数N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数ZP通过G(S)可知N：顺时针为负，逆时针为正当V≠0时，需要做增补线W:0→0+从幅相曲线W=0+位置开始沿逆时针方向画V×90°的圆弧增补线（理论半径为∞）计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。例：某单位负反馈系统的开环传递函数为G(𝑆)=𝐾𝑆2(𝑇𝑆+1)试用奈氏判据判别闭环稳定性。解:W：0+→∞幅值趋于0，相角趋于-270°。N=-1，P=0，Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。2、对数频率判定系统稳定性N=𝑁+−𝑁−=𝑃2在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越-180°在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上W=0+处开始，用虚线向上补90°角（补到0°或180°）例：已知系统的开环传递函数为G(𝑠)=10𝑠(0.1𝑠+1)试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。解：N+=0，N−=0，P=0N=(N+)-(N-)=0-0=P/2