自动控制原理根轨迹法

12第四章线性系统的根轨迹法一根轨迹法的基本概念二根轨迹绘制的基本法则三广义根轨迹四系统性能分析本章主要内容：3本章要求1、正确理解根轨迹的概念；2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3、了解广义根轨迹；4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。第四章线性系统的根轨迹法4一、根轨迹法的基本概念（1）本节主要内容：1、根轨迹概念2、根轨迹与系统性能3、闭环零极点与开环零极点的关系4、根轨迹方程54-1-1根轨迹概念1、根轨迹一、根轨迹法的基本概念（2）开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。2、举例说明A控制系统如图6B闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（3）其闭环传递函数为：KssKsRsCs222)()()(2C闭环特征方程特征方程式可写为0222Kss7一、根轨迹法的基本概念（4）D特征方程的根特征方程式的根为Es平面根轨迹见右图Ks2111Ks211284-1-2根轨迹与系统性能1、稳定性当开环增益从零变到无穷时，上面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此对所有的K值都是稳定的。一、根轨迹法的基本概念（5）2、稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。93、动态性能当0＜K＜0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K＝0.5时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较0＜K＜0.5情况为快；当K＞0.5时，闭环极为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而加大。一、根轨迹法的基本概念（6）104-1-3闭环零极点与开环零极点的关系1、典型控制系统系统特征方程为一、根轨迹法的基本概念（7）0)()(1sHsG112、前向通路传递函数在一般情况下，前向通路传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（8）qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(22121*TTKKGG：前向通路增益：前向通道根轨迹增益GK*GK123、反馈通路传递函数在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（9）hjjljjHpszsKsH11*)()()(：反馈通道根轨迹增益hjjljjHpszsKsH11*)()()(134、开环传递函数系统的开环传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（10）***11*1111**,,)()()()()()()()(HGniimjjhjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszszsKKsHsG145、闭环传递函数将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)代入得一、根轨迹法的基本概念（11）()()1()()GssGsHsmjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(156、开闭环零极点关系（1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。（2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。一、根轨迹法的基本概念（12）*K164-1-4根轨迹方程1、系统闭环特征方程由闭环传函可得系统闭环特征方程为：一、根轨迹法的基本概念（13）0)()(1sHsG)s(H)s(G1)s(G)s(2、根轨迹方程当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为根轨迹方程1)()(11*niimjjpszsK173、根轨迹相角条件（充分必要条件）一、根轨迹法的基本概念（14）11()()(21)mnjijiszspk,2,1,0k4、根轨迹模值条件用来确定根轨迹上各点得值，模值条件为根据这两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的值。mjjniizspsK11**K*K18二、根轨迹绘制的基本法则本节主要内容：1、绘制根轨迹的基本方法2、根轨迹法则应用举例3、闭环极点的确定19本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增值，当可变参数为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件，因此称为根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做根轨迹的绘制法则。二、根轨迹绘制的基本法则（1）*Kk21800＋01800180204-2-1根轨迹绘制基本法则法则1根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：设闭环系统特征方程为式中可以从零变到无穷。当时，有说明时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。二、根轨迹绘制的基本法则（2）mjjniizsKps1*10)()(*K0＝＊K;ips,2,1i…n,0＝＊K21将特征方程改写为如下形式：当时，由上式可得所以根轨迹必终于开环零点。二、根轨迹绘制的基本法则（3）nimjiizspsK11*0)()(1*K;isz1,2,,jm22法则2根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm），或与开环有限零点数m相等（nm)。根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。二、根轨迹绘制的基本法则（4）23法则3根轨迹渐近线当nm时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。mnkoa180)12(mnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则（5）24法则4实轴上的根轨迹：若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。考虑到这些相角中的每一个相角都等于，减去就相当于加上角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：二、根轨迹绘制的基本法则（6）)12(kij25法则5根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点的坐标d由下列方程所决定：niimjjpdzd1111)1(二、根轨迹绘制的基本法则（7）26或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。二、根轨迹绘制的基本法则（8）0)()()2(0)()(1)()(1*dsdssHsdGsNsMKsHsG0)3(*dsdsdK27例绘制图示系统大致的根轨迹解：（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则（9）11z3,2,0321ppp)3)(2()1(*ssssK)(sR)(sC]0,1[,]2,3[28（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）二、根轨迹绘制的基本法则（10）2)13/()1()320(aooak90)13/(180)12(47.2)2(4.03121167.0115.2)1(3121111dddddddddd10j2347.229法则6根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。二、根轨迹绘制的基本法则（11）ipizmjnijjpppzopijiji1118011180ijijinmozpzzzjjji30法则7根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零来确定。实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。二、根轨迹绘制的基本法则（12）js*K31法则8根之和。系统的闭环特征方程在nm的一般情况下，可以有不同形式的表示式中，为闭环特征根。二、根轨迹绘制的基本法则（13）isninnnmjnjiaasaszsKps11111*...)()(1111()()...()0nnnnniiiiiissssss32当时，特征方程第二项系数与无关，无论取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益增大时，若闭环某些根在平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。二、根轨迹绘制的基本法则（14）*K*K2mnniniiips11Ks33例设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统根轨迹。解：首先将写成零、极点标准形式二、根轨迹绘制的基本法则（19）15.0)15.0()(2sssKsG)(sG)1)(1()2()(*jsjssKsG34由法则1～5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起于开环复数极点，终于有限零点和无限零点。因此，在上，必存在一个分离点，其方程为经整理，可以求得和，显然应取，根轨迹图见下张片子。二、根轨迹绘制的基本法则（20）)1j（－,2djdjdd111210242dd414.3d586.0d414.3d35二、根轨迹绘制的基本法则（21）36例设系统开环传递函数为试绘制该系统概略根轨迹。解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域和为轨迹。2）确定根轨迹的渐近线。本例n＝4，m＝3，故只有一条的渐近线。二、根轨迹绘制的基本法则（22）)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()(*jsjsssjsjssKsG5.10，－，－－5.2180373）确定分离点。本例无分离点。4）确定起始角与终止角。根轨迹在极点处的起始角为类似方法可算出根轨迹在复数零点处的终止角为根轨迹图见下一张。各开环零、极点到的向量相角也在下面图中显示。二、根轨迹绘制的基本法则（23）(0.51.5)j79)()(1804313212p)2(j5.149)2(j38二、根轨迹绘制的基本法则（24）39二、根轨迹绘制的基本法则（25）40例设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解:按下述步骤绘制概略根轨迹：1）确定实轴上的根轨迹。实轴上区域必为根轨迹。2）确定根轨迹的渐近线。由于，故有四条根轨迹渐近线，其二、根轨迹绘制的基本法则（26）)22)(3()()(2*ssssKsHsG30，－4mn25.1a135,45a413）确定分离点。本例没有有限零点，故于是分离点方程为用试探法算出4）起始角。量