第十章 统计学 方差分析

10-1经济、管理类基础课程统计学第十章方差分析10-2经济、管理类基础课程统计学第十章方差分析第一节方差分析的基本问题第二节单因素方差分析第三节双因素方差分析10-3经济、管理类基础课程统计学学习目标1.解释方差分析的概念2.解释方差分析的基本思想和原理2.掌握单因素方差分析的方法及应用3.掌握双因素方差分析的方法及应用10-4经济、管理类基础课程统计学第一节方差分析的基本问题一.方差分析内容及其术语二.方差分析的基本思想和原理三.发差分析中的基本假定四、问题的一般提法10-5经济、管理类基础课程统计学一.方差分析内容及其术语10-6经济、管理类基础课程统计学（一）什么是方差分析?(analysisofvariance)1.检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响一个或多个分类尺度的自变量两个或多个(k个)处理水平或分类一个间隔或比率尺度的因变量3.有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量10-7经济、管理类基础课程统计学消费者投诉次数与行业的关系消费者与产品生产者、销售者或服务提供者之间经常发生纠纷。当发生纠纷后，消费者常常会想消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售、旅游业、航空公司、家电制造业抽取了不同的企业作为样本。其中所抽取零售业7家、旅游业6家、航空公司5家、家电制造业5家。每个行业中抽取的这些企业，服务对象、服务内容、企业规模等方面基本上相同的。然后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数，结果如下表：10-8经济、管理类基础课程统计学表10-1消费者对四个行业的投诉次数行业观测值零售业旅游业航空公司家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例10.1】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表10-9经济、管理类基础课程统计学1.分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等3.若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异。4.若它们的均值不全相等，则意味着行业对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量应该有显著差异。10-10经济、管理类基础课程统计学（二）方差分析中的有关术语1.因素或因子(factor)所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子2.水平或处理(treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平3.观察值在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值10-11经济、管理类基础课程统计学4.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验5.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体6.样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据10-12经济、管理类基础课程统计学（案例2）表10-2该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表10-2。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。10-13经济、管理类基础课程统计学什么是方差分析?（例子的进一步分析）1.检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同2.设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量，4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面的假设H0:1234H1:1,2,3,4不全相等3.检验上述假设所采用的方法就是方差分析10-14经济、管理类基础课程统计学1.从散点图上可以看出（仍以例10.1为例）不同行业被投诉的次数是有明显差异的同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2.行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近二、方差分析的基本思想和原理（一）图形描述10-15经济、管理类基础课程统计学方差分析的基本思想和原理(图形分析)不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数零售业旅游业航空公司家电制造10-16经济、管理类基础课程统计学1.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异n这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析n所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差n这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源10-17经济、管理类基础课程统计学1.比较两类误差，以检验均值是否相等2.比较的基础是方差比3.如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的（二）误差分解10-18经济、管理类基础课程统计学方差分析的基本思想和原理(两类误差)1.随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异。比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的2.这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差3.系统误差素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差10-19经济、管理类基础课程统计学1.数据的误差用平方和(sumofsquares)表示，称为方差2.组内方差(withingroups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差3.组间方差(betweengroups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差10-20经济、管理类基础课程统计学（三）误差分析1.若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近12.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于13.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响10-21经济、管理类基础课程统计学三、方差分析中的基本假定10-22经济、管理类基础课程统计学三、方差分析的基本假定1.每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布2.各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等3.观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立10-23经济、管理类基础课程统计学在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分10-24经济、管理类基础课程统计学例10.1的假设如果原假设成立，即H0：1=2=3=4四个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体Xf(X)123410-25经济、管理类基础课程统计学若备择假设成立，即H1：i(i=1,2,3,4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体Xf(X)312410-26经济、管理类基础课程统计学四、问题的一般提法10-27经济、管理类基础课程统计学1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1,2,,k表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：nH0：12…knH1：1,2,，k不全相等3.设1为零售业被投诉次数的均值，2为旅游业被投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值，4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为nH0：1234nH1：1,2,3,4不全相等10-28经济、管理类基础课程统计学第二节单因素方差分析一、数据结构二、分析步骤三、关系强度的测量四、用Excel进行方差分析10-29经济、管理类基础课程统计学一、数据结构10-30经济、管理类基础课程统计学一、单因素方差分析的数据结构(one-wayanalysisofvariance)观察值(j)因素(A)i水平A1水平A2…水平Ak12::nx11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xn1xn2…xnk10-31经济、管理类基础课程统计学二、单因素方差分析的步骤•提出假设•构造检验统计量•统计决策•方差分析表•用Excel进行方差分析10-32经济、管理类基础课程统计学（一）提出假设1.一般提法H0：1=2=…=k•自变量对因变量没有显著影响H1：1，2，…，k不全相等•自变量对因变量有显著影响2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等10-33经济、管理类基础课程统计学（二）构造检验的统计量1.为检验H0是否成立，需确定检验的统计量2.构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和均方(MS)10-34经济、管理类基础课程统计学1、计算水平的均值假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为),,2,1(1kinxxinjijii式中：ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值10-35经济、管理类基础课程统计学2、计算全部观察值的总均值全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：10-36经济、管理类基础课程统计学例10.1分析10-37经济、管理类基础课程统计学3、计算各误差平方和（1）总误差平方和SST1.全部观察值与总平均值的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为ijxxkinjijixxSST112前例的计算结果：SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869