高等数学D1_2

第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限第一章三、收敛数列的性质二、数列极限的定义第二节数列的极限一、极限思想的形成和发展简史第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限早在古希腊时期,欧多克斯(Eudoxus约公元前408-355)就提出了穷竭法.这是极限理论的先驱.我国庄子(公元前355-275)《天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,也具有极限的思想.公元263年,我国数学家刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”,用正多边形逼近圆周.这是极限思想成功的应用.一、极限思想的形成和发展简史极限思想是人类智慧的延伸,是人们通过有限时空认识无限时空的法宝,同时也是开启近现代数学科学大门的金钥匙．(刘徽割圆术)十七世纪下半叶,牛顿,莱布尼兹创立了微积分学.由于受当时的条件所限,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学是不严密的.因此,在微积分诞生以后,曾就它的基础是是否稳第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限固发生过一场大的争论.为了使微积分建立在严密的基础之上,包括费马、马克劳林、泰勒等在内的大数学家做了很多尝试,路子比较对的是达朗贝尔,他将微积分的基础归结为极限,并认为极限是“一个变量趋近于一个固定量,趋近的程度小于任何固定的量”,不过他没有沿着这条路走到底．严密的分析是从波尔察诺,阿贝尔和柯西开始的.1821年,法国理工科大学教授柯西写了《分析教程》一书,其中将极限定义为“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值,其差可任意小,则该固定值为这一串数值的极限”.但是他的叙述中仍有“无限趋向”,“要多小有多小”之类的语言,仍然是不严格的.最后,德国数学家威尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观所带来的含糊概念,得到了现今广泛采用的极限的严密定义.柯西第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限二、数列的极限1.数列的定义与性质,,,,21nxxx这个由数构成的序列称为数列，.}{nnxx或记为对应一个确定,按某一规则,对每个Nn数的序列：按下标的增序排成一个的实数,nx例如,)1(,,1,1,11n})1{(1n,)1(,,34,21,21nnnnnn1)1(,222,,22,2定义1第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限1)数列可看作数轴上的动点.1x2x3x4xnx2)数列是整标函数：).(nfxn说明：有界性使得,0M.,MxNnn有界数列nx数列的性质：单调性121nnxxxx单调增加数列nx121nnxxxx单调减少数列nx第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限问题1当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn:)1(11nxnn问题2“无限接近”的含义是什么?如何用精确数学语言刻划它?2.数列极限的定义.1,无限接近于无限增大时当nxn考察数列1nxnnn11)1(1,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限,10001给定时,只要1000n,1000011nx有,100001给定时,只要10000n,100011nx有,0给定,)1(时只要Nn就有.1nx定义设为一数列,如果存在常数,对于任意给{}nxa定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得当N不等式Nn时，axn都成立,则称常数为数列的极限,或者称数列{}nxa{}nx收敛于,记为alimnnxa或()nxan第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限习惯上也说不存在.如果不存在这样的数，就说数列没有极限,或称数列是发散的.limnnx说明;)2的无限接近与:的任意性及axaxnn有关.与N)3axnnlim.,,0,0axNnNn时当，使用两个符号：)1发散的两种情况.)4aa)(1Nx2Nx几何解释)5axan)(Nn即),(aUxn)(Nn第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散的两种情况第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限例1证明数列的极限为1.证1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn已知第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限例2证明证0nx2)1(1n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N已知适当放大11n第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限例3,1q证明等比数列证0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.设第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限23ba22abnabax三、收敛数列的性质证及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式用反证法.第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限例4是发散的.证假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.证明数列用反证法.第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限2.收敛数列一定有界.证取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列设此性质反过来不一定成立.第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限3.收敛数列具有保号性.若且)0()0(证对a0,推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)有则取则第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限*********************,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明*********************NNx设数列}{nx在数列中任意抽取无限多项并保持在原数列说明：}{nx的一个中的先后顺序而得到的一个新数列,称为数列.limaxknk子列.第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2kkx发散!则原数列一定发散.说明:第一章函数、极限与连续高等数学（上）第二节数列的极限内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限思考与练习如何判断极限不存在?方法1.方法2.找一个趋于∞的子数列;找两个收敛于不同极限的子数列.