高等数学___李伟版___课后习题答案第一章

习题1—1（A）1．判断下列论述是否正确？并说明理由：（1）有理数集是实数集的子集，但不能说实数集是实数集的子集，因为一个集合的子集所含的元素一定比该集合所含的元素“少”；(2)由于函数()yfx的图像与其反函数1()xfy的图像是同一条曲线，因此这两个函数实际是同一个函数；(3)若将函数(),()yfttgx复合为复合函数(()),yfgx函数()tgx的值域必须为函数()yft的定义域；(4)函数()yfx在点集I上有界的充分必要条件是它在I上有最大值与最小值；(5)过函数()yfx定义域内的任意一点做x轴的垂线，该垂线与函数的图形必交于且只交于一点；(6)函数xy1是其定义域内无界函数．答：（1）不正确．集合本身也是其子集．（2）不正确．如xyln与yxe是不同的函数，前者是指数函数，后者是对数函数．（3）不正确．如xtty1ln，，复合为)1ln(xy，函数xt1的值域为全体实数，而函数tyln的定义域为全体正实数．（4）不正确．)(xf在I上有最大值与最小值是)(xf在I上有界的充分条件，不是必要条件，如xy在)10(，内有界，但是没有最大值与最小值．（5）正确．函数定义决定的．（6）正确．事实上，0M，取DMx110，MMxy1)(0．2．若集合}01{,}2{xxxBxxA，，用区间表示集合BABABA\、、．解：由2x，或0,1xx，得x2，所以),2[BA；由,0,1,2xxx得01x或20x，所以]20()01(，，BA；由2x，及01xx，，得12x或0x，所以}0{]1,2[\BA．3．若函数1)(2xxf，求)()()1()1()1(xfxxfxfxff，，，．解：,21)1()1(,011)1(222xxxxff),0(11)1()1(222xxxxxfxxxxxxxfxxf2)()1(1)()()(222．4．设函数.104,e4,sin)(1xxxxfx求)8()()0()4(ffff，，，．解：因为4在104x范围内，所以5)4(1ee)4(f；因为0在4x范围内，所以00sin)0(f；因为在4x范围内，所以0sin)(f；因为8在104x范围内，所以781ee)8(f．5．若函数)(xf的定义域为)1,1(，求函数)1()()1(xfxfxf，，的定义域．解：由11x，得)1(xf的定义域为)02(，；由11x，有10x；得)(xf的定义域为)10[，；由1/1x，有1x得)/1(xf的定义域为)1()1(，，．6．下列各题中，各对函数是否为同一函数？为什么？（1）xxf)(与2)(xxg；（2）xxfln2)(与2ln)(xxg；（3）11)(2xxxf与1)(xxg；（4）221)(xxxf与xxg1)(．答：（1）是，xx2（),(x）．（2）不是，前者定义域为0x，后者定义域为0x．（3）不是，前者定义域为1x，后者定义域为全体实数．（4）不是，前者在1x时，前者对应法则为xxf1)(，后者为1)(xxg．7．若所涉及的函数都在),(ll内有定义，证明（1）两个偶函数之和是偶函数，两个奇函数之和是奇函数；（2）两个偶（奇）函数之积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数．证明：设)()(1xfxf、分别是定义在),(ll的偶函数；)()(1xgxg、分别是定义在),(ll的奇函数．（1）设)()()(1xfxfxF；)()()(1xgxgxG，)()()()()()(11xFxfxfxfxfxF，所以)(xF是偶函数；)()()()()()(11xGxgxgxgxgxG，所以)(xG是奇函数．（2）设)()()()()()(1xgxfxxfxfx，，)()()()()()(11xxfxfxfxfx，所以)(x是偶函数；)()]()[()()()(xxgxfxgxfx，所以)(x是奇函数．8．判断下列函数的奇偶性：（1）xxxxxfsincos1)(2；（2）)31sin()(2xxf；（3）)ee(21)(xxxf；（4）xxxf11ln)(．答：（1）奇函数，由奇偶函数的四则运算性质．（2）偶函数，由复合函数运算性质，若)(xg是偶函数，则)]([xgf是偶函数．（3）奇函数，若)(xf在),(ll有定义，则)()(xfxf一定是偶函数，)()(xfxf一定是奇函数，本题属于后者．（4）奇函数，xxxf11ln)(的定义域为)11(，，且)1ln()1ln()(xxxf．9．证明函数)1lg()(2xxxf是),(内的奇函数．证明：因为xxxxxxxf22211lg)1lg())(1lg()()()1lg(2xfxx，所以)1lg()(2xxxf是),(内的奇函数．10．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期：（1）xysin；（2）)21tan(xy；（3）xy2sin；（4）xxy2sin．答：（1）是，若)(xf得最小正周期是l，则)(axf)0(a得最小正周期是al，22T．（2）是，同上，)21(2tan)21tan(xxy，2T．（3）是，)2cos1(21sin2xxy，22T．（4）不是，一个周期函数与一个非周期函数的和（差）一定是非周期函数．11．求下列函数的反函数：（1）13xy；（2）)1ln(1xy；（3）)0(bcaddcxbaxy；（4）)4(2sin21xxy．解：先反解)(yxx的表达式，再将变量x与y互换．（1）由13xy，得)0()1(312yyx，反函数为)0()1(312xxy．（2）由)1ln(1xy，得)(e11yxy反函数为)(e11xyx．（3）由dcxbaxy，有baxydcx)(，得)(cayacydybx反函数为)(caxacxdxby．（4）由xy2sin21，得21arcsin21yx，因为4x，所以31y，反函数为)31(21arcsin21xxy．12．在下列各题中，写出由所给函数复合而得的复合函数：（1）xuuycos3，；（2）xuyusine，；（3）xuuycos1，；（4）xvvuuy，，2sin．解：（1）将xucos代入到3uy中，得复合函数xy3cos．（2）将xusin代入到uye中，得复合函数xysine．（3）将xucos1代入到uy中，得复合函数xycos1．（4）将xv代入到vu2中，得xu2，将xu2再代入到uysin中，得复合函数xy2sin．13．将下列复合函数分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算：（1）)12ln(xy；；（2）xy1cos2；（3）1e1xy；（4）xxysin1sin1arctan．解：（1）12,lnxuuy．（2）xvvuuy1,cos,2．（3）1,e1,xvuuyv．（4）xvvvuuysin,11,arctan．14．某厂生产的产品1000吨，定价为130元/t．当出售量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数．解：设Q是销售量，R是销售收入，当7000Q时，QR130；当1000700Q时，9100117)700(1309.0700130QQR，所以.100070091001177000130QQQQR，，，15．某种品牌的电视机每台售价为1500元时，每月可销售2000台，每台售价为1300元时，每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数．解：设Q是销售量，P是每台售价，由题意，有aPbQ，将1500P时，2000Q；1300P时，2400Q代入，得50002ba、，所以，PQ25000．16．证明下列各等式：；；yxyxyxyxyxyxshchchsh)(shshchchsh)(shyxyxyxyxyxyxshshchch)(chshshchch)(ch；；xxxxxxxx2222shchch2chsh2sh21shch；；证明：下面有代表性地证明部分等式（其余等式证明方法类似）：)ee)(ee(41)ee)(ee(41shchchshyyxxyyxxyxyx)ee(21yxyx)(shyx．1)ee(21)ch(0)ch(shshchchshch0022xxxxxxxx．xxxxxxxxxchsh2shchchsh)sh(sh2．17．将下列用直角坐标表示的曲线方程用极坐标表示：（1）0222yyx；（2）2222xyaxaxy．解：（1）将cosx，siny代入到0222yyx中，有0sin22，化简得：sin2（0）．（2）将cosx，siny代入到2222xyaxaxy中，有aacos2，化简得：)cos1(a（20）．18．将下列用极坐标表示的曲线方程用直角坐标表示：（3）cos；（4）6．解：（1）将xcos代入到cos中，有x2，而22yx，所以cos在直角坐标系下的方程为xyx22．（2）将xyarctan代入到6中，有xyarctan6，即316tanxy，所以6在直角坐标系下的方程为3xy（0x）．习题1—1（B）1．某铁路客运公司规定：普通旅客随身携带的行李重量不超过20kg时免费；50kg内超出20kg的部分按0.20元/kg收费，50kg以上超重部分加倍收费．试写出客运公司关于普通旅客随身携带的行李重量的收费函数．解：设P是收取费用，W是携带行李重量；当200W时，0P；当5020W，42.0)20(2.0WWP；当50W时，144.0)50(4.0302.0WWP；所以，.50144.0502042.02000，，，，，2．设xxxf2)1(2，求)1()(xfxf，．解：由3)1(4)1(2)1(22xxxxxf，得34)(2xxxf；863)1(4)1()1(22xxxxxf．3．求函数0,1e,0),1(2)(2xxxxfx的反函数．解：当0x时，由)1(2xy，得12yx（2y）；当0x时，有1e2xy，得)1ln(21yx（2y），所以反函数为：.2)1ln(21212xxxxy，，，4．若函数)(xf的定义域为]1,0[，求函数)0()()()(sinaaxfaxfxf，的定义域．解：由1sin0x，得)(sinxf的定义域},)12(2{ZkkxkxD；由,10,10axax有,1,1axaaxa当210a时，得axa1，此时)()(