高等数学上-知识点及考试注意事项

1考试：请不要作弊•先易后难，先做有把握的，做完就一定不会错.有时间的话，把有把握的题目演算一遍，确保万无一失.即使成绩差一些，至少能及格.会得做不对，不会的更做不对。就很难考及格.•做题不要紧张.•考的是那些知识点：函数和极限，连续函数的定义和性质闭区间上函数的性质，导数的定义，求导法则，隐函数求导，参数方程求导，复合函数求导，微分的计算；导数的应用：微分中值定理，洛必达法则，极值和最值，凹凸区间，拐点；还是积分，直接积分法，第一换元法，第二换元法，分部积分法，对称区间上的奇偶函数的积分，定积分的应用，求面积，旋转体体积，要清楚该用什么方法。然后认真做题.2常出现的小错误：微分、洛必达法则、拐点、直线方程常混淆的概念：导函数和导函数的连续；重要的定义和定理：极限的局部保号性、连续、导数、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、积分中值定理31.求微分，记住公式：()dyfxdx(())()dyfgxgxdx1.求函数xyx3cose的微分．1．利用函数积的微分法则及微分形式的不变性求解；2．求出函数的导数xy再乘以xd．ydxxxxd3cos3sine．2.求函数2ln1exy的微分．222edd1exxxyx．练习4求下列函数的微分(1)lntan2xy(2)(ln)yfx知识点:求微分()dyfxdx复合函数求导：逐层求导，外层求导，内层不动。解：（1）因为2ta1tan1(l2ntan)(ns)()2tan2ec222xdyxxxdxxx2211111()2sintancostancos22222xxxxxx所以1sindydxx（2）设：lnux，则;()yfu，故1(ln)(ln)(ln)yfxxfxdxx所以1(ln)dyfxdxx例5000002.(),()0,()0,(,())().fxxfxfxxfxyfx设函数在的邻域内三阶可导且而那末是曲线的拐点00,()).xfx拐点是用坐标（来表示的，不同于极值点的表示2.求拐点利用xf的二阶导数的符号确定曲线的凹凸性，进一步根据曲线的凹凸性确定曲线的拐点．001.(),()0,fxxfx设函数在的邻域内二阶可导且;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx6解8()2,fxxx28()20,fxx令2，x(0,2),0,fx但在内(0,2];曲线在上是凸的(2,),0,fx在内[2,).曲线在上是凹的2(2,4+8ln2)()8ln(0).fxxxx点是曲线的拐点2()4lnfxxx曲线的拐点为2,22ln2（）例7例试确定22(3)ykx中k的值，使曲线在拐点处的法线通过原点(0,0).解：232(3)2412ykxxkxkx,2121212(1)(1)ykxkkxx令0y，121,1xxy在121,1xx两侧变号，所以(1,4)k，(1,4)k为曲线的拐点，过点(1,4)k的法线方程为14(1)8YkXk,又法线通过原点(0,0).故28k，11x时，同理可得28k.8例求曲线23535yxxx凹凸区间和拐点知识点：定理设有曲线:()()CyfxxI，(1)若()0,()fxxI，则曲线C是凹的；(2)若()0,()fxxI，则曲线C是凸的；拐点：曲线弧()yfx的凹弧与凸弧的分界点。确定曲线凹凸区间，拐点的方法：1.求出()fx在I上为零或不存在的点；2.这些点将区间I划分成若干个部分区间，确定曲线()yfx在每个部分区间上的凹凸性；3.若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；否则不是拐点。解：23103,610yxxyx561003yxx令得53x时，0y，5(,)3为凸区间，53x时0y，5(,)3为凹区间，520(,)327为拐点9知识点：函数的极值，驻点连续函数的极值点必是驻点和不可导的点求函数的极值的步骤：先求出驻点和不可导点（可疑的极值点），再利用第一充分条件，第二充分条件判断可疑点是否为极值点．函数取得极值的第一充分条件设函数()fx在点0x的某个邻域0(,)Ux内连续，在去心邻域0(,)oUx内可导，(1)、当00(,)xxx时，()0fx，00(,)xxx时，()0fx，则0()fx为()fx的极大值(2)、当00(,)xxx，()0fx，00(,)xxx时，()0fx，则0()fx为()fx的极小值.10函数取得极值的第二充分条件设函数()fx在点0x处具有二阶导数，且0()0fx、0()0fx，则(1)、当0()0fx时，函数()fx在0x处取得极大值；(2)、当0()0fx时，函数()fx在0x处取得极小值。例求函数()sincosfxxx在[0,2]上的极值解()cossinfxxx．()sincosfxxx．令()0fx，得cossin0xx．即tan1x所以驻点为：125,,44xx20244ff为极大值；5520244ff为极小值；11例求()2fxxx在区间[0,2]上的最大值与最小值．知识点：函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内可疑的极值点（导数为零、导数不存在的点）。计算函数在这些点处的函数值，比较它们的大小就可得到函数的最值。解：111()121,02fxxxx．令()0fx，得驻点1x．由于(0)0f，(1)1f，(2)222f．比较可知，()fx在[0,2]上的最大值为(0)0f，最小值为(1)1f．123.求不定积分一定要加上任意常数C23xxedx22222xxxeeC不定积分的计算通常有四种方法：前提：基本积分表1、直接积分法[()()]()()afxbgxdxafxdxbgxdx也称为逐项积分法．如2211()2ln||22xxxdxxdxxxCx；又如22tansec1tanxdxxdxxxC；132.第一换元法：它需根据被积函数的形式，凑出中间变量的微分，所以它也称为凑微分法。如cos(1)cos(1)(1)sin(1)xdxxdxxC；1111(43)ln|43|434434dxdxxCxx；2222221(22)ln|22|2222xdxdxxxxCxxxx。第一换元法是不定积分中大量使用的方法例计算261xdxx解：23363211arcsinC311()xdxdxxxx注意：首先记住21arcsinC1dxxx143、第二换元法()1()[()]()()()xtfxdxfttdttCxC第二换元法对于某些函数的积分有固定的换元模式1）若被积函数中含有naxb的式子，取换元nuaxb．2）三角函数代换法若被积函数中含有式子22ax，取换元sinxat；若被积函数中含有式子22ax，取换元tanxat；若被积函数中含有式子22xa，取换元secxat．同样的代换也适用于定积分.2321(1)1xdxCxx练习15例求121dxx．知识点：若被积函数中含有naxb的式子，取换元nuaxb解：设1xt，即21xt，得2dxtdt．于是1221122222dxdttttdtxt22124ln|2|2dtttCt=214ln21xxC164.分部积分法udvuvvdu。这四种方法在不定积分中往往交替使用，应学会灵活使用这些方法．分部积分时的固定模式分部积分公式udvuvvdu1）nxnxxedxxde2）nxnxxedxxde3）cossinnnxxdxxdx4）sincosnnxxdxxdx5)111lnlnaaaxxdxxdx6）111arctanarctannnnxxdxxdx7)111arcsinarcsinnnnxxdxxdx8）111arccosarccosnnnxxdxxdx220cos4xxdx练习反对幂指三17例求不定积分(1)cos2.xxdx解：(1)cos2cos2cos2xxdxxxdxxdx11(sin2)cos2(2)22xdxxdx注：四则运算、凑微分、分部积分相结合111sin2cos2sin2C242xxxx111sin2cos2sin2C242xxxx1822cos2xxdx例原式解dxxx)cos1(212xdxxdxxcos212122361xxdxsin212]sinsin[2161223xdxxxxxdxxxxxsinsin216123xxdxxxcossin216123xxxsin216123xxcosCxsin19牛顿－莱布尼茨公式()()()()bbaafxdxFxFbFa例6、301xdx知识点：被积函数含有绝对值的定积分解原式130115(1)(1)222xdxxdx．注：对于含有绝对值的定积分，应利用积分的区间可加性脱掉绝对值号。4.含有绝对值的定积分要脱掉绝对值号204.利用定积分的几何意义例计算定积分2204xdx。知识点：定积分的换元计算与简算解法1换元计算．换元必换限，下限对下限，上限对上限取代换2sinxt，则00,22xtxt，原积分2222004cos2cos4costtdttdt2212004(1cos2)2(sin2)2tdttt。解法2被积函数可以表示为24yx，进而变为224xy．根据定积分的几何意义，该积分表示的是曲线24yx所确定的曲边梯形的面积，它是半径为2的四分之一圆的面积（右图），故原积分2124．xy224xyO21例求12230arccos(1)xdxx的值.知识点：1、含有根式的无理函数积分，关键是去根式2、换元必换限，下限对下限，上限对上限解：令cosxt，sindxtdt，02xt当时，，142当时，xt23223442021arccos(sin)sinsin(1)xttdxtdtdtttx222224444csc(cot)[cot]cotttdttdttttdt242[cot]lnsinln22442t22例计算定积分120(arcsin).Ixdx知识点：分部积分解：1210201[arcsin](2arcsin)1Ixxxxdxx21202arcsin14xdx2212102012[1arcsin]241xxxdxx22102244x23例计算定积分120(sin).Iarcxdx　知识点：分部积分和换元法结合计算定积分解：arcsinsinxtxt令，即则00xt，12xt，222220002222002220022cossinsinsin22cos[2cos]442sin244Itdtttttdttdt