高等数学不定积分的计算教学ppt

第四章不定积分第一节不定积分的计算第四章不定积分第一节不定积分的概念第二节不定积分的计算NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算第一节不定积分的概念一.换元积分法二.分部积分法本节主要内容:(一)第一类换元积分法(二)第二类换元积分法NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算一.换元积分法(一)第一类换元积分法(凑微分法)cos10sin10xdxxCcos10?xdx引例:3?xedx33eexxdxc求导数验证结果求导数验证结果NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算1sin10dsin10d1010xxxx解决方法利用复合函数的中间变量,进行换元.1110sindcos1010uxuuuC令1cos10.10uxC回代1[cos10]sin1010xCx说明结果正确NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算331dd(3)3xxexex113d33uuuxeueC令313xueC回代将上例的解法一般化:设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dd(())()duxxx[()]()=[()](())()()()(())fxxdxfxdxuxfuduFuCFxC令将上述作法总结成定理,使之合法化,可得——换元法积分公式NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算定理4.2.1设f(u)具有原函数F(u),(u)是连续函数,那么[()]()d[()].fxxxFxC()[()]()d[()]d()()d()[()].gxdxfxxxfxxfuuFuCFxC使用此公式关键在于将要求的积分转化为()gxdx[()]()fxxdxd[()]xNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例2计算5(23)d.xx561d6uuuC解:原式51(23)d(23)2xx51(23)d(23)2xx我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下:Ⅰ.被积函数是一个复合函数与公式作对比,公式中自变量x变成了ax+b的形式,这时设ax+b为中间变量，1dd()xaxbaNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算51=23d2uxuu令66111(23).2612uCuxC回代1()d()d().faxbxfaxbaxbaNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例3计算432310(1);(2)(1).xxedxxxdx411=44uuuxedueC令1.被积函数中含有两个多项式,其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式.Ⅱ.被积函数是两个函数乘积形式edeuuuC41;4xueC回代(1)原式441d4xexNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例3计算432310(1);(2)(1).xxedxxxdx31031(1)d(1)3xx3101111=1333uxuduuC令10111d11uuuC3111(1).33uxC回代11()()().nnnnfxxdxfxdxn(2)原式NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例4计算12lnxdxx2被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数.1dd(ln)xxx例5计算6sincosdxxxsindd(cos)xxx1(ln)d(ln)d(ln).fxxfxxx(cos)sind(cos)d(cos),(sin)cosd(sin)d(sin)fxxxfxxfxxxfxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例4计算12lnxdxx原式1(12ln)dxxx(12ln)d(ln)xx2、被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数。1dd(ln)xxx1=1-2lnd2uxuu令1(12ln)d(12ln)2xx22111224uCuC21(12ln).4uxC回代1(ln)d(ln)d(ln).fxxfxxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例5计算6sincosdxxx原式66cosd(cos)dxxuusindd(cos)xxx7711cos.77uCxC(cos)sind(cos)d(cos),(sin)cosd(sin)d(sin)fxxxfxxfxxxfxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例6计算22(2arctan)d.1xxx21dd(arctan)1xxx21(arctan)d(arctan)d(arctan)1fxxfxxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例6计算22(2arctan)d.1xxx221(2arctan)d1xxx21dd(arctan)1xxx2(2arctan)d(arctan)xx21(arctan)d(arctan)d(arctan)1fxxfxxx2(2arctan)d(2arctan)xx31(2arctan)3xC原式NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为,其中u可以是x的任一可微函数;其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致.1dln||xxcxd1ln||uucuNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算常用的凑微分形式有:1dd;xaxbadd();xxexecosdd(sin);xxx2dd(arcsin);1xxx211dd();xxx21dd();2xxx11dd(ln);xaxbxa2secdd(tan);xxx2dd(arctan);1xxxsectandd(sec);xxxxd2d();xxxsindd(cos);xxx2cscdd(cot);xxx1dd();axaxexeacsccotdd(csc).xxxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算2222dd1(0);2;xxaaxax（）（）222arcsin;1arctan;xxCaaxdxxCaxaa2d例7计算3tand;(4)cotd;xxxx（）tanlncos;cotlnsin;xdxxCxdxxCNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算2222dd1(0);2;xxaaxax（）（）2222d1d1()1d()1arcsin;xaxxxaaxaxaxCa22222d1d1()11d()1()1arctan;xaxxxaaxxaaaxCaa222arcsin;1arctan;xxCaaxdxxCaxaa2dNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算3tand;(4)cotd;xxxx（）tansindcosd(cos)coslncos;xdxxxxxxxCcotcosdsind(sin)sinlnsin;xdxxxxxxxCtanlncos;cotlnsin;xdxxCxdxxCNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算5secd;xx（）例7计算6cscd;xx（）seclnsectan;csclncsccot.xdxxxCxdxxxCNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算5secd;xx（）解法一2secdsec(sectan)dtansecsecsectandtansec1d(tansec)tanseclnsectan;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算5secd;xx（）解法二2222secd1cossincoscos1sin1sinsin11sin()ln21sin1sin21sin1(1sin)lnlnsectan2cosxxxdxdxdxxxxdxdxxCxxxxCxxCxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例7计算6cscd;xx（）2cscdcsc(csccot)dcotcsccsccsccotdcotcsc1d(cotcsc)cotcsclncsccot;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCseclnsectan;csclncsccot.xdxxxCxdxxxCNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例8计算2211;dxxa（）例8计算22;6dxxx（）练习求2d.54xxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例8计算23.49dxx（）练习求21625dxx例8计算214;825dxxx（）221arctandxxCaxaa.54d2xxx练习求NanjingCollegeofInformationandTechnology第四章不定积分第一节不定积分的计算例8计算2215.45xdxxx（）例8计算10616.(21)xdxx（）例8计算7d.1xxx（）例8