Chapter 4-1 向量组及其线性组合

第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合向量及向量组的定义向量组等价定理的比较线性组合的定义一个向量能由一个向量组线性表示向量组B能由向量组A线性表示定义1n个有次序的数a1,a2,···,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.在这里我们只讨论实向量.一、向量及向量组的定义1.向量的定义,21naaa.21Tna,,a,an维列向量n维行向量n维向量可写成一行,也可写成一列,为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵,并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.因此,n维列向量与n维行向量T是两个不同的向量.分别称记法：在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.在引进坐标系以后,这种向量就有了坐标表示式两(三)个有次序的实数,就因此,当n≤3时,n维向量可以把有是2(3)维向量.向线段作为几何形象,但当n3时,n维向量就不再有这种几何形象,只是沿用一些术语罢了.几何中,“空间”通常是作为点的集合,即“空间”的元素是点,这样的空间叫做点空间.我们把2维向量的全体所组成的集合R2={r=(x,y)T|x,yR}叫做二维向量空间.在点空间取定坐标以后,空间中的点P(x,y)与2维向量r=(x,y)T之间有一一对应的关系,因此,向量空间可以类比为取向量的集合定了坐标的点空间.l={r=(x,y)T|ax+by=c}也叫做向量空间R2中的直线.我们把3维向量的全体所组成的集合R3={r=(x,y,z)T|x,y,zR}叫做三维向量空间.在点空间取定坐标以后,空间中的点P(x,y,z)与3维向量r=(x,y,z)T之间有一一对应的关系,因此,向量空间可以类比为取向量的集合定了坐标的点空间.={r=(x,y,z)T|ax+by+cz=d}也叫做向量空间R3中的平面.类似地,n维向量的全体所组成的集合Rn={x=(x1,x2,···,xn)T|x1,x2,···,xnR}叫做n维向量空间.n维向量的集合={x=(x1,x2,···,xn)T|a1x1+a2x2+···+anxn=b}叫做n维向量空间Rn中的n-1维超平面.2.向量组的定义164,512,743,1214321就是一个由四个3维列向量1,2,3,4构成的定义若干个同维数的列向量(或同维数的向量组.例如行向量)组成的集合叫做向量组.对于一个m×n矩阵A=(aij):,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA若令,)21(21,n,,jaaamjjjj注：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。A的第j列则矩阵A有n个m维列向量.A=(1,2,···,n).2,···,n构成一个m×n矩阵例如，n个m维列向量所组成的向量组1,成一个矩阵.反之,由有限个向量所组成的向量组可以构1T,2T,···,mT称为矩阵A的行向量组.则矩阵A有m个n维行向量,它们组成的向量组iT=(ai1,ai2,···,ain)(i=1,2,···,m),n称为矩阵A的列向量组.若令向量组1,2,···,A的第i行同理,m个n维行向量所组成的向量组1T,.TT2T1mB综上所述,一个矩阵与一个行向量组(或列向2T,···,mT构成一个m×n矩阵量组)一一对应.前两章中常把m个方程n个未知量的线性方x1a1+x2a2+···+xnan=b,阵B的行向量组对应.若把方程组写成向量形式一个方程对应一个行向量,则方程组即与增广矩其增广矩阵B=(A,b)一一对应.这种对应看成程组写成矩阵形式Ax=b,从而方程组可以与3.线性方程组与向量组的关系则可见方程组与B的列向量组a1,a2,···,an,b之组与一个向量组一一对应.间也有一一对应的关系.综上所述,一个线性方程1.线性组合的定义为这个线性组合的系数.称为向量组A的一个线性组合,k1,k2,···,km称k1a1+k2a2+···+kmam何一组实数k1,k2,···,km,表达式（向量）定义2给定向量组A:a1,a2,···,am,对于任二、向量组等价给定向量组A:a1,a2,···,am和向量b,如果存能由向量组A线性表示.则称向量b是向量组A的线性组合,这时称向量bb=1a1+2a2+···+mam,在一组数1,2,···,m,使2.一个向量能由一个向量组线性表示定理1向量b能由向量组A线性表示的充B=(a1,a2,···,am,b)的秩.要条件是矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩等于矩阵有解.x1a1+x2a2+···+xmam=b注：向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组由上章定理定理55线性方程组线性方程组AxAx==bb有解的有解的充要条件充要条件是是RR((AA)=)=RR((AA,,bb).).可得例1设,1301,0411,3121,2211321b证明向量b能由向量组1,2,3线性表示，并求出表示式.定义3设有两个向量组A:a1,a2,···,am及表示,则称这两个向量组等价.A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组B:b1,b2,···,bs,若向量组B中的每个向量都能由3.向量组B能由向量组A线性表示、向量组等价把向量组A和B所构成的矩阵分别记作存在数k1j,k2j,···,kmj,使能由向量组A线性表示,即对每个向量bj(j=1,2,···,s),A=(a1,a2,···,am)和B=(b1,b2,···,bs).,)(21212211mjjjmmmjjjjkkk,a,a,aakakakb向量组B注1：向量组间的线性表示可写成矩阵相乘的形式。从而,)()(2122221112112121msmmssmskkkkkkkkk,a,,aa,b,,bb这里,矩阵Km×s=(kij)称为这一线性表示的系数矩阵.,AKB则即矩阵B的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示..)()(2122221112112121snssnnsnbbbbbbbbb,a,,aa,c,,cc为这一表示的系数矩阵:的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B由此可知,若Cm×n=Am×sBs×n,则矩阵CC的列向量组A的列向量组同时,C的行向量组能由B的行向量组线性表示,.TT2T1212222111211TT2T1smsmmssmaaaaaaaaaA为这一表示的系数矩阵:C的行向量组B的行向量组A的列向量组与B的列向量组等价类似地,矩阵A与B列等价A的行向量组与B的行向量组等价注2：矩阵A与B行等价量组A：a1,a2,···,am线性表示，其涵义是存在矩阵Kml，使(b1,···,bl)=(a1,···,am)K，也就是矩阵方程(a1,a2,···,am)X=(b1,b2,···,bl)有解.由上章定理定理66矩阵方程矩阵方程AXAX==BB有解的有解的充要条件是充要条件是RR((AA)=)=RR((AA,,BB).).可得注3：向量组B：b1,b2,···,bl能由向定理2向量组B：b1,b2,···,bl能由向量组A：a1,a2,···,am线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,···,am,b1,···,bl)的秩，即R(A)=R(A,B).推论向量组A：a1,a2,···,am与向量组B：b1,b2,···,bl等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.例2设,0213,2011,1102,3113,111132121bbbaa证明向量组a1,a2与向量组b1,b2,b3等价.定理3设向量组B：b1,b2,···,bl能由向量组A：a1,a2,···,am线性表示，则R(b1,b2,···,bl)≤R(a1,a2,···,am).根据矩阵的秩的性质及定理2，由下述结论三、定理的比较本节定理1向量b能由向量组A线性表示的B=(a1,a2,···,am,b)的秩.充要条件是矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩等于矩阵上章定理5线性方程组Ax=b有解的充要条件是R(A)=R(A,b).本节定理2向量组B：b1,b2,···,bl能由向量组A：a1,a2,···,am线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,···,am,b1,···,bl)的秩，即R(A)=R(A,B).上章定理6矩阵方程AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B).本节定理3设向量组B：b1,b2,···,bl能由向量组A：a1,a2,···,am线性表示，则R(b1,b2,···,bl)≤R(a1,a2,···,am).上章定理7设AB=C，则R(C)≤min{R(A),R(B)}.上述各定理之间的对应，其基础是向量组与矩阵的对应，从而有下述对应：向量组B：b1,b2,···,bl能由向量组A：a1,a2,···,am线性表示有矩阵K，使B=AK方程AX=B有解R(A)=R(A,B)上述对应的叙述都有必要条件：R(A)≥R(B).这里，第一种可称为几何语言，后三种和必要条件则都是矩阵语言.几何问题，还要掌握用几何语言来解释矩阵表述的结论.我们要掌握用矩阵语言描述上一章中把线性方程组写成矩阵形式，通过矩阵的运算求得它的解，还用矩阵语言给出了线性方程组有解、有唯一解的充要条件；本章中将向量组的问题表述成矩阵形式，通过矩阵的运算得出结果，然后把矩阵形式的结果“翻译”成几何问题的结论.这种用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决问题的方法，通常叫做矩阵方法，这正是线性代数的基本方法.例3设n维向量组A：a1,a2,···,am构成nm矩阵A=(a1,a2,···,am)，n阶单位矩阵E=(e1,e2,···,en)的列向量叫做n维单位坐标向量.证明：n维单位坐标向量组e1,e2,···,en能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=n.本例所证本例所证结论用矩阵语言可叙述为结论用矩阵语言可叙述为对矩阵Anm，存在矩阵Kmn，使AK=En的充要条件是R(A)=n.也可叙述为矩阵方程AnmK=En有解的充要条件是R(A)=n.