实验十三：混沌(.ppt)

数学实验之十三－混沌中国科学技术大学数学系陈发来实验内容•函数迭代•二次函数的迭代•FeigenBaum图•混沌的特性•其它函数的迭代一、函数迭代•给定一函数以及初始点，定义数列称为函数的迭代序列。满足的点称为的不动点，记之为。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点。如果所有附近的)(xf0x,....1,0),(1kxfxkk}{kx)(xfuuf)(ufuu点都远离它，则它是排斥点。例如，0与1是的不动点。0是吸引点，1是排斥点。如果则点集形成一个k循环。称为k周期点。k称为周期。2)(xxf13221)(...,,)(,)(uufuufuufkkuuu,...,,211u类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点。如1是的预周期点。迭代序列的收敛与发散性质不仅与函数有关，而且与初值的选择有关。例如，对于迭代12xu}{kx)(xf121kkxx当初值时，迭代序列收敛，否则发散。10x二、二次函数的迭代•对二次函数做迭代:•迭代的几何直观图)1()(xxaxf,1,0),1(1kxxaxkkk40a0x)(0xf)(1xfxy练习1对几组不同的参数值（如1.4)以及不同的初值，观察迭代是否收敛。练习2取参数，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数回答同样的问题。a,5.0a0x8.0a5.2,2,6.1,1a练习3找出一个参数使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？练习4对任意的整数，你能找到一个值使得它对应的迭代具有周期点吗？对哪些值能给出周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对和的值进行验证）akkakk6.34.3a46.3a练习5如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？练习6根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些值对应吸引的不动点？哪些值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。•不动点的计算从得到及)1(xxax0xaax/)1(•吸引的不动点与排斥的不动点定理设是的不动点，如果在附近有，则是的吸引的不动点；否则，是的排斥的不动点。由于故当0a1时，０为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1a3,０为排斥点，(a-1)/a为吸引点。x)(xfx1|)('|xfx)(xfx)(xfaaafaf2)/)1((',)0('•2周期点得))1(1)(1())((2xaxxxaxffx,/)1(,021aaxx3,2/)321(24,3aaaaax三、Feigenbaum图•将区间（0,4]以某个步长（如）离散化。对每个离散的值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。a04.0a),(,),,(),,(1005251xaxaxaa练习7观察Feigenbaum图。（1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？（2）从某一点开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？（3）再在下一个分支点，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？（4）上述分支过程是否一直进行下去？1a2a是否存在极限分支点?（5）在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？练习8在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？a四、混沌的特性•对初值的敏感性练习9任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过0.1,在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01,0.001,0.0001结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？,1,0),1(41kxxxkkk•非随机性仍然考虑迭代练习10从不同的初值出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？,1,0),1(41kxxxkkk)1,0(0x五、其它函数的迭代•锯齿函数练习11锯齿函数的迭代对初值是否敏感？找出锯齿函数的周期点。12/1122/102)(xxxxxS•帐篷函数练习12帐篷函数的迭代对初值是否敏感？找出帐篷函数的周期点。12/1)1(22/102)(xxxxxT•其它函数的迭代对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数的迭代行为相比较。axxfxaxfxxfaxaxf42)(.4)sin()(.32)(.2)()(.1)1()(xxaxf六、听一听混沌练习14选取初值（如），由迭代产生迭代序列，根据的大小确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序列。0x1.00x,1,0),1(41kxxxkkk,1,0,kxkkx