15第四章线性方程组的理论

第四章线性方程组的理论线性方程组有解的条件线性相关性的理论线性方程组解的结构在第一章用消元法讨论线性方程组第一节线性方程组有解的条件11112211211222221122,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）的求解问题.第三章中(1)式写成以向量x为未知元的方程mnAxb（2）定理1线性方程组(1)有解的充分必要条件是有无穷多个解.；当时，方程组(1)RARBRARBn只有唯一解；RARBrn时，方程组(1)证明线性方程组(1)经初等变换后可化为：1111221112222221,,,0,00,00,rrnnrrnnrrrrnnrrcxcxcxcxdcxcxcxdcxcxdd（3）其中0,1,2,,.iicir那么，相应的矩阵的行初等变换将方程组(1)的系数矩阵A和增广矩阵B分别化成1112112222000,000000000000rnrnrrrncccccccccA因为1112111222221000.00000000000000rnrnrrrnrrccccdcccdccdBd,AB都是阶梯型矩阵，所以可以看出RAr而111,0,,0.rrrdRBrd而初等变换不改变矩阵的秩，所以,RARAr111,0,,0.rrrdRBRBrd定理2n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩.mnAxbRAn推论1当时，齐次线性方程组只有唯一的零解.RAn0mnAx推论2当时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.mn0mnAx0A例1解齐次线性方程组解对系数矩阵A作初等变换变为最简形：123412341234123440,20,2250,3360.xxxxxxxxxxxxxxxx1114111222153316A213141231111002600130026rrrrrr原方程的同解方程组为2343221114000000130000rrrr32311114001300000000rrr1211030013.00000000rr124340,0.xxxxx取为自由变量，即得24,xx1242434,,3xxxxxxx可任意取值令，将之写成为通常的参数形式2142,xcxc112213242,3,,xccxcxcxc其中为任意实数，写成列向量形式12,cc11221123242,11,103,03,01xccxcccxcxc例2设有线性方程组123123123212131321xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解．问为何值时，此线性方程组解因为方程的个数与未知量的个数相同，故可从系数矩阵的行列式入手讨论．因为A22133201100111故由克拉默法则知，当，，时,0110,AB当时，写出对应方程组的增广矩阵，0B002101310031方程组有唯一解．并把它化成行阶梯形矩阵12rr0131002100313232rr01310021500022,RA3,RBRARB所以方程组无解．当时，1B1121133111231121021000042131rrrr2,RA3,RBRARB所以方程组无解．当时，1B1121113111412131rrrr112100100020312rr110100100000所以方程组有无穷多个解．23RARB取为自由未知量，得原方程组的同解方程组为2x1222310xxxxx1223110100xxxx即令为任意常数，则得方程组的通解为2xk123110100xxkx例3设有线性方程组23213213211xxxxxxxxx??,有无穷多个解有解取何值时问解21111111B1111111~2作初等行变换，对增广矩阵),(bAB2222111011011~32222120011011~22112100111011,11时当000000001111~B.,3方程组有无穷多解BRAR其通解为33223211xxxxxxx.,32为任意实数xx,12时当22120011011~B这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解时BRAR.21,21,212321xxx.,故方程组无解BRAR,2)2时300063304211~B定理3矩阵方程有解的充分必要条件是.,RARABAXB例4求解齐次线性方程组.034022202432143214321xxxxxxxxxxxx解341122121221A463046301221施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr0000342101221)3(223rrr212rr00003421035201即得与原方程组同解的方程组,0342,0352432431xxxxxx,,,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值xx由此即得,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx.1034350122214321ccxxxx例5求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换，322122351311321B13122rrrr23rr200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，故方程组无解．例6求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换2132111311101111B2121001420001111~.00000212100211011~,2BRAR由于故方程组有解，且有2122143421xxxxx42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321xxxxxx所以方程组的通解为.,42为任意实数其中xx例7求出它的一切解．在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组.054321515454343232121aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为543211000111000011000011000011aaaaaB5143210000011000011000011000011~iiaaaaa051iiaBRAR.051iia是方程组有解的充要条件由于原方程组等价于方程组454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax.5为任意实数x二n维向量及其线性运算解析几何：原点为起点，点为(,,)Pxyz,,OPxyz(,,)Pxyz,,OPrxyz一一对应终点的有向线段所表示的向量为代数：把向量表示中的花括弧换成圆括弧表示成,,rxyz或Txryxyzz定义1称矩阵1n12naaaa为一个维列向量n为一个维行向量（即矩阵）.n1n分量T12,,,naaaa称列向量的转置说明：若不加特别说明，所涉及的向量均为维列向量，且为了书写方便，有时以行向量的转置表示列向量．n,,,ab列向量用黑体小写字母等表示行向量则用等表示TTTT,,,abT00,0,,0T12(,,,),naaa向量相等：若维向量T12,,,naaa与n零向量：分量全为零的向量，记作0，即负向量：的负向量是T12,,,naaaa称与相等，记作..a记作11,2,,iabin即时，T12,,,nbbb中各个对应的分量相等T12,,,,naaa则向量1122,,,Tnnababab叫作向量与的和，记作.向量的差：()定义2设T1122,,,nnabababT12,,,,nbbbn都是维向量，数与向量的乘积，记作或aa.a向量的线性运算的运算性质,,设为维向量，为实数，则：n,;()();00;T12,,,naaaa定义3设，为实数T12,,,naaa那么向量叫做（1）（2）（3）()0;1;()();();().（4）（5）（6）（7）（8）第二天为T216,22,18,9aTT1215,20,17,816,22,18,9aa则两天各产品的产量和为T31,4