三维设计2012届复习课件文科数学(人教A版)第二章__第三节__函数的单调性与最值

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的性质．函数的单调性与最值[理要点]一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增函数减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是逐渐上升逐渐下降2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．增函数减函数区间D二、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有②存在x0∈I，使得①对于任意x∈I，都有②存在x0∈I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M[究疑点]1．如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数？提示：不能，如f(x)＝1x，及f(x)＝tanx.2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．[题组自测]1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4解析：y＝3－x在R上递减，y＝1x在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．答案：A2．下列说法正确的是()A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1x2，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数D．若f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1x2解析：对于A、B，由于x1，x2不是任意的，故不满足定义，所以错误．对于C，如y＝－1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上却不是单调函数，故C错误，而对于D，由增函数定义知其正确．答案：D3．利用单调性的定义证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1x2－1，则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1.∵x1x2－1，x2－x10，x1＋10，x2＋10，∴x2－x1x1＋1x2＋10，即y1－y20，y1y2.∴y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．4．试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．解：法一：x1，x2∈(－1,1)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝ax2x22－1－ax1x21－1＝ax1－x2x1x2＋1x22－1x21－1.∵－1x1x21，∴|x1|1，|x2|1，x1－x20，x21－10，x22－10，|x1x2|1，即－1x1x21，∴x1x2＋10，∴x1－x2x1x2＋1x22－1x21－10.因此，当a0时，f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，此时函数为减函数；当a0时，f(x2)－f(x1)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数．法二：f′(x)＝－ax2＋1x2－12，x∈(－1,1)∴a0时f′(x)0，此时函数为减函数．a0时f′(x)0，此时函数为增函数．[归纳领悟]判断或证明函数单调性的常用方法：1．定义法．第一步：取值，即设x1、x2是该区间内任意两个值且x1x2；第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：判号，即判断f(x1)－f(x2)的正负，当符号不确定时，需要进行分类讨论；第四步：下结论，即判断f(x)在该区间是增函数还是减函数．2．导数法．f′(x)≥0(x∈A)⇔f(x)在A上为增函数，(使f′(x)＝0的x仅是个别值)；f′(x)≤0(x∈A)⇔f(x)在A上为减函数，(使f′(x)＝0的x仅是个别值).[题组自测]1．函数y＝x2＋2x－3(x0)的单调增区间是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－3]答案：A解析：二次函数的对称轴为x＝－1，又因为二次项系数为正数，拋物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，所以其单调增区间为(0，＋∞)．2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2.答案：D3．求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(2)f(x)＝x3－15x2－33x＋6.解：(1)依题意，可得当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．(2)f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，当x－1或x11时，f′(x)0，f(x)单调递增；当－1x11时，f′(x)0，f(x)单调递减．∴f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(11，＋∞)，递减区间是(－1,11)．4．求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)f(x)＝log2(x2－1)．解：(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象．如图①所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]．(2)函数的定义域为x2－10，即{x|x1或x－1}．令u(x)＝x2－1，图象如图②所示．由图象知，u(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．而f(u)＝log2u是增函数．故f(x)＝log2(x2－1)的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)．[归纳领悟]求函数的单调性或单调区间的方法1．利用已知函数的单调性．2．定义法：先求定义域，再利用单调性定义．3．图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．4．导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.[题组自测]1．函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．解析：∵f′(x)＝－1x－120，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝13－1＝12，f(x)max＝12－1＝1.答案：1212．若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)f(m2)的实数m的取值范围是________．解析：∵f(x)在R上为增函数，∴2－mm2，∴m2＋m－20，∴m1或m－2.答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)，若f(x)在[12，2]上的值域为[12，2]，则a＝__________.解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)在[12，2]上单调递增，∴f12＝12f2＝2即1a－2＝121a－12＝2，易求a＝25.答案：254．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)3.解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1x2，则x2－x10，∴f(x2－x1)1.f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－10.∴f(x2)f(x1)．即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴原不等式可化为f(3m2－m－2)f(2)，∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－22，解得－1m43，故解集为(－1，43)．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，当x0时，f(x)0，f(1)＝－23，且f(x)在R上是减函数，求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.[归纳领悟]f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2)⇔f(x1)－f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1)f(x2)⇔x1x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测2012年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．二、考题诊断1．(2010·北京高考)给定函数①y＝x12；②y＝log12(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝log12x向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意．答案：B2．(2010·天津高考)设函数f(x)＝212log0,log(),0.xxxx，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意可得a0log2a－log2a或a0log12－alog2－a，解之可得a1或－1a0.答案：C点击此图片进入“课时限时检测”