讲义8-不完全信息动态博弈(续2)――不完全信息重复博弈

第8讲不完全信息动态博弈（续2）——不完全信息重复博弈主讲人：张成科博士广东工业大学经济与贸易学院[e-mail]管理博弈论（ManagementGameTheory)目录导航一精练贝叶斯纳什均衡基本思路贝叶斯法则精练贝叶斯纳什均衡不完美信息博弈的精练贝叶斯均衡二信号传递博弈及其应用举例不完全信息重复博弈不完全信息重复博弈与声誉KMRW声誉模型该模型首先是由Kreps（克瑞普斯）、Milgrom（米尔格罗姆）、Roberts（罗伯茨）和Wilsom（威尔荪）于1982年提出。它主要研究不完全信息静态博弈G经过有限次重复时，博弈人之间的合作行为特征。因此，有必要先回顾完全信息静态博弈有限次重复的结论。（一）完全信息重复博弈及其结论零和博弈等博弈方的利益严格对立的博弈G的有限次重复，不会使各博弈人在某阶段的战略选择有所改变（即不会发生合作行为）。有唯一纯战略Nash均衡的博弈G，有限次重复G，不会使各博弈人在某阶段的战略选择有所改变（亦即不会发生合作行为）。特别地，有“连锁店悖论”。有多个纯战略Nash均衡的博弈G，有限次重复，有可能使各个博弈人通过选择象“触发战略”等形式，实现部分阶段的行为。1.有限次重复描述方式：将博弈看成是一个特殊的T阶段完全信息动态博弈，然后用子博弈精练Nash均衡讨论。结论：“连锁店悖论”(chain-storeparadox)Selten(1978);进入者在位者进入不进入默许斗争（40，50）（-10，0）（0，100）逆向归纳假定在位者有20个市场。直观告诉我们，如果进入者在第一个市场进入，在位者应该选择斗争，因为尽管从一个市场看，斗争是不值得的，但这样做可以遏止进入者在其他市场上的进入。唯一的精炼纳什均衡是：进入者总是进入；在位者总是默许。完全信息重复博弈及其结论零和博弈等博弈方的利益严格对立的博弈G的无限次重复，不会使各博弈人在某阶段的战略选择有所改变（即不会发生合作行为）。有纯战略Nash均衡的博弈G，无限次重复，有可能使各个博弈人通过选择象“触发战略”等形式，在适当的贴现率水平下，实现部分阶段的行为。1.无限次重复描述方式：将博弈看成是一个特殊的T=∞阶段完全信息动态博弈，然后用子博弈精练Nash均衡讨论。结论：（二）不完全信息重复博弈情形那么，这些结论，在不完全信息博弈G的重复博弈中，将会有什么样的变化呢？这正是本节要研究的。我们仅讨论G为不完全信息静态博弈时的情况，特别地，就以“囚徒困境”式博弈的不完全信息情况作为主要的讨论对象。描述方式：将T次重复博弈看成是一个特殊的具有T阶段不完全信息动态博弈，然后用精练贝叶斯Nash均衡的概念来讨论。Axelrod实验Axelrod（1981）实验表明：即使在有限次博弈中，合作行为也频繁出现。问题在哪里？一个可能的原因在于：我们前面假定不仅参与人的理性是共同知识，而且每个参与人可以选择的战略和效用函数都是共同知识。但现实不是这样。可能性：逆向归纳方法的问题（理性共识）；信息不完全；正如我们前面讨论的谈判情况：如果信息是完全的，谈判一开始就达成协议，但现实中的谈判不是这样，原因在于信息不对称。不完全信息KMRW模型（1982）；如果参与人对其他参与人的效用函数和战略空间的信息不完全，即使博弈重复的次数是有限的，人们也有积极性建立一个合作的声誉(reputation)，合作会出现。以“囚徒困境”为例说明KMRW模型。囚徒困境博弈—完全信息时的模型坦白C抵赖D坦白C抵赖D-8，-80，-10-10，0-1，-1AB在以下讨论中，坦白=背叛，抵赖=合作单方不完全信息假定有两个参与人，A和B，进行囚徒困境博弈。如下图。参与人A有两中可能的类型：(1)“非理性”型，概率为p。该类型参与人A只有一种战略，针锋相对战略或者称为grimstrategy；(2)“理性”型，概率为（1-p）。该类型参与人A可以选择任何战略。参与人B有一种类型：理性型。对“非理性”的解释“非理性囚徒”：是对具有上面行为特征的另一类囚徒的概括；可以理解为讲义气、重信誉的人；内在化了声誉(reciprocity)社会规范的人；并不是指他的行为是不追求效用最大化，而是说他有一种特殊的成本函数或效用函数；使他更注重讲义气重声誉。“理性囚徒”：是指“机会主义者”或者非合作型参与人，是对完全信息情形下“囚徒”及其行为的一个简单化概括。不完全信息囚徒困境重复博弈的顺序重复博弈的顺序如下：自然首先选择囚徒A的类型；囚徒A知道自己的类型，囚徒B只知道囚徒A属于理性的概率为1-p，非理性的概率为p.两个囚徒进行第一阶段博弈；观测到第一阶段博弈结果后，进行第二阶段博弈；观测到第二阶段的博弈结果后再进行第三阶段博弈；如此类推；两理性囚徒的支付是各个阶段博弈支付的贴现值之和（设贴现率为1）。囚徒困境博弈坦白C抵赖D坦白C抵赖D-8，-80，-10-10，0-1，-1AB在以下讨论中，坦白=背叛，抵赖=合作两次重复囚徒困境博弈情形假设非理性囚徒A只采用一种战略（称为针锋相对战略）：开始选择D，然后在t阶段选择囚徒B在t-1阶段的选择（即“你背叛我就背叛，你合作我就合作”）。此时，我们只需考察囚徒B在第一阶段的选择x，该x将影响囚徒A在第二阶段的选择。各选择情况如下表：两次重复囚徒困境博弈情形t=1t=2A非理性(p)理性型(1-p)B（理性型)背叛DX坦白C坦白CX坦白C囚徒B的期望支付情况若参与人B在第1阶段的行动X=D，其两阶段的期望支付总合为：U2D=[p×(-1)+(1-p)×(-10)]+[p×0+(1-p)×(-8)]=17p-18t=1时t=2时同理若参与人B在第1阶段的行动X=C，其两阶段期望支付总和为：U2C=[p×0+(1-p)×(-8)]+[p×(-8)+(1-p)×(-8)]=8p-16t=1时t=2时两次重复时的结论显然，当U2D≥U2c时，即17p-18≥8p-16亦即p≥2/9时，囚徒B将选择X=D.结论：如果囚徒A属于非理性的概率p≥2/9，囚徒B将在第一阶段选择抵赖(D)，即合作行为发生。博弈重复3次(T=3)t=1t=2A非理性(p)理性型(1-p)B（理性型)合作DXX=？(D)坦白CXYt=3Y坦白C设非理性囚徒A仍只采用“针锋相对战略”，且p≥2/9，此时，各个博弈人的战略选择可归纳成上表。表4.7坦白C参与人A（理性）的选择可见，如果理性囚徒A和囚徒B在第一阶段选择X=D，那么后续阶段与T=2时相同。t=1t=2A非理性(p)理性型(1-p)B（理性型)合作DX=DX=D坦白CX=DYt=3Y坦白C坦白C表4.8参与人A（理性）的选择下面我们推导上表（表4-8）是精练BayesNash均衡的条件：由于假设非理性囚徒A只采用“针锋相对战略”，故囚徒B修正其先验概率为后验概率的规则是：若在t=1阶段，观测到囚徒A的选择为C，则修正p为P=0，否则P=p。共同知识参与人A（理性）的选择首先考虑理性囚徒A在第一阶段的战略。理性囚徒A选择D是最优的（即不让囚徒B区别自己的真实身份）。证明如下：给定囚徒B在第一阶段的选择D，则理性囚徒A在t=1阶段选择D的总期望效用为：V1D=(-1)+(0)+(-8)=-9对应的战略分别为：理性囚徒A为(D,C,C)囚徒B为(D,D,C)分离战略参与人A（理性）的选择若理性囚徒A在t=1第1阶段选择C，则囚徒B立即在t=2阶段判断出囚徒A的真实身份，从而囚徒B在t=2,3阶段将都选择C.这样理性囚徒A也只有选择C；双方的战略分别为：理性囚徒A(C,C,C)囚徒B(D,C,C)则理性囚徒A的总期望支付为：V1C=(0)+(-8)+(-8)=-16所以理性囚徒A在第一阶段选择合作是最优的。从而没有兴趣单方面偏离表4.8参与人B（囚徒2）的选择囚徒B有四种战略：（合作，合作，背叛）=(D,D,C)；（背叛，合作，背叛）=(C,D,C)；（背叛，背叛，背叛）=(C,C,C)；（合作，背叛，背叛）=(D,C,C)。但是根据在两次重复博弈的讨论，囚徒B的战略(D,C,C)显然不是最优的，故只需考虑前三种。其次考虑囚徒B的战略：给定理性囚徒1在第一阶段选择D（总战略为(D,C,C)），囚徒2选择(D,D,C)的总期望支付为：U2(D,D,C)=[-1]+[p×(-1)+(1-p)×(-10)]+[p×0+(1-p)×(-8)]=17p-19t=1t=2t=3如果囚徒2选择(C,C,C)，则整个三阶段重复博弈的路径变为：考察囚徒B的战略（D，D，C）t=1t=2A非理性(p)理性型(1-p)B（理性型)合作DX=C合作D背叛CX=CX=Ct=3X=C背叛C背叛CU2(C,C,C)=[0]+[-8]+[-8]=-16考察囚徒2的战略（D，D，C）因此只要U2(D,D,C)≥U2(C,C,C)，即17p-19≥-16亦即p≥3/17则囚徒2选择(D,D,C)优于(C,C,C)。同理若囚徒2选择(C,D,C)，则整个三阶段重复博弈的路径变为：考察囚徒2的战略（D，D，C）t=1t=2A非理性(p)理性型(1-p)B（理性型)DCDCCDt=3DCC此时，U2(C,D,C)=[0]+[-10]+[p×0+(1-p)×(-8)]=8p-18考察囚徒2的战略（C，D，C）因此只要U2(D,D,C)≥U2(C,D,C)，即17p-19≥8p-18亦即p≥1/9则囚徒2选择(D,D,C)优于(C,D,C)。由于假定了p≥2/9，故p≥3/17和p≥1/9都成立。这说明，给定理性囚徒1的战略(D,C,C)情况下，囚徒2的最优选择为(D,D,C)。亦即没有兴趣单独偏离表4.8。考察囚徒2的战略（D，D，C）综合以上分析，只要囚徒A是非理性的概率p≥2/9，表4.8所示的战略组合就是一个精练BayesNash均衡。关于囚徒2的战略（D，D，C）的结论（五）结论11.只要囚徒A是非理性的概率p≥2/9，下表所列战略组合是一个精炼纳什均衡：非理性囚徒A采用“针锋相对战略”，理性型囚徒A采用(D，C，C)，即在第1阶段选择合作，然后在第2和第3阶段选择背叛；囚徒2采用(D，D，C)，即在第1和第2阶段选择合作，然后在第3阶段背叛。（五）结论22.可以进一步证明，如果p≥2/9,对于所有T3，下表所列战略组合是一个精炼纳什均衡：非理性囚徒1采用“针锋相对战略”，理性型囚徒1在t=1至t=T-2阶段一直选择合作，然后在第t=T-1和t=T阶段选择背叛；囚徒2采用在t=1至t=T-1阶段选择合作，然后在t=T阶段背叛。非合作阶段的总数量等于2，与T无关。背叛只在最后两阶段出现。（五）结论3--43.如果p2/9,合作行为不可能作为精炼纳什均衡出现。4.如果两个囚徒的类型都是私人信息（即每个囚徒都有p0的概率是非理性的）。则不论p多么小，只要重复的次数足够多，合作均衡就会出现。下面举例说明结论4：（五）举例说明结论4假定：非理性囚徒选择触发战略（“冷酷战略”）：（1）开始选择D；（2）若在t阶段对方选择C，则从t+1阶段开始一直选C直到T阶段（即绝不原谅对方的任何背信弃义行为）。则Bayes法则推断后验概率就可以归结为：任何囚徒若在t=1阶段选择C，就将让对方识别为理性的囚徒身份。（五）举例说明结论4下面我们证明：只要T足够大，对理性囚徒而言，在t=1选择C不是最优的。以囚徒1为例：如果他是理性的，且在t=1阶段选择C，则囚徒2将在第二阶段后识别他的身份。这样，博弈的可能路径是：t=1t=2囚徒2非理性(p)理性型(1-p)囚徒1（理性型)DCD或CCCCt=3,…CCC此时，理性囚徒1的最大期望总支付为：u1C=[0]+[-8]+….+[-8]=-8(T-1)（五）举例说明结论4（五）举例说明结论4下面考虑：如果囚徒1是理性的，但他在t=1阶段不选择C，比如他冒充非理性的，选择“冷酷战略”，结果会怎样呢？当囚徒2是非理性的（概率为p），则博弈的路径为