4通信原理-随机信号分析

通信原理第三章随机信号分析严谨严格求实求是第三章随机信号本章内容结构§3.1引言§3.2概率论的基本概念复习§3.3随机过程的基本概念§3.4平稳随机过程的概念§3.5平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度§3.6高斯过程和高斯白噪声§3.9平稳随机过程通过线性系统严谨严格求实求是第三章随机信号§3.1引言为什么学习随机信号？噪声是一种随机信号；通信中传递的信息，对接收者来说是事先不知道的，也就是随机的；有的时候信道的传输特性也是随机变化的（例如短波、微波传输的衰减受天气的影响很大）。严谨严格求实求是第三章随机信号§3.2概率论的基本概念复习1、随机变量的概念（1）样本空间的概念：在随机实验中，所有可能的结果的集合（例如抛1次硬币，其样本空间为{正面,反面}）（2）随机变量的概念：对于一个样本空间，若每一个元素有一个随机的单值与之对应，则称之为随机变量（例如，抛硬币如果是正面我们用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是这个实验的随机变量，通常记为ξ）严谨严格求实求是第三章随机信号2、随机变量的统计特性（即概率分布）（1）离散型随机变量常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为（2）连续型随机变量只能用分布函数和概率密度函数来描述+1-10.50.5}{)(xPxF分布函数)()(xFxf概率密度函数严谨严格求实求是第三章随机信号3、随机变量的数字特征（1）数学期望E(即平均值)对于离散随机变量：对于连续随机变量：（2）方差D对于离散随机变量：对于连续随机变量：)()(][1是常数记为axPxEniiidxxxfE)(][niiixPaxD12)(][][dxxfaxD)()(][2严谨严格求实求是第三章随机信号3、随机变量的数字特征(续)（3）相关函数无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机变量的相关函数统一定义为][),(2121ER请同学们将教材公式3.2.10右面的逗号改为乘号严谨严格求实求是第三章随机信号§3.3随机过程的基本概念§3.3.1随机过程《测度论》中给出了随机过程的严格的数学定义，可是非常抽象、不易理解因此我们从一个随机过程的实例，及其样本空间，来描述随即过程严谨严格求实求是第三章随机信号通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程我们都知道，抛1次硬币作为1次实验，得到的结果可能是正或反，所以其样本空间为{正，反}设想我们连续抛3次硬币作为1次实验，那么，其可能结果为：(正,正,正)(正,正,反)(正,反,正)(反,正,正)(反,反,反)(反,反,正)(反,成,反)(正,反,反)所以这个实验样本空间为上述8个情况的集合严谨严格求实求是第三章随机信号通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程我们知道“抛1次硬币”的结果对应的值称作“随机变量”而“连续抛3次硬币”，每次实验都会对应3个随机变量（第一次、第二次、第三次），因此不能再称作随机变量了我们称这种实验叫做“随机过程”，记为ξ(t)严谨严格求实求是第三章随机信号通过热噪声的例子来理解随机过程这是在一个电阻上测量到的热噪声，它也属于一种“随机过程”。图中画出了其3个样本，这种随机过程的样本空间有无穷多个。注意：每一个样本都是一个关于时间的函数严谨严格求实求是第三章随机信号随机变量和随机过程的区别与关系区别：随机变量与随机过程的样本空间是不同的这中区别体现在样本空间的数量上和性质上关系：随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量严谨严格求实求是第三章随机信号§3.3.2随机过程的统计特性由于随机过程由一系列随机变量组成所以无法用某一随机变量的统计特征来描述整个随机的统计特性于是人们定义了一维概率分布函数和概率密度函数二维概率分布函数和概率密度函数。。。N维概率分布函数和概率密度函数严谨严格求实求是第三章随机信号一维概率分布函数和密度函数因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量)(11tt对应随机变量记为把随机过程在时刻])([),(1111xtPtxFt义为的一维概率分布函数定则该随机过程在时刻xtxFtxf),(),(1111义为其一维概率密度函数定严谨严格求实求是第三章随机信号二维概率分布函数和密度函数)(11tt对应随机变量记为把随机过程在时刻])()([),;,(2121221ytxtPttyxFtt且义为的二维概率分布函数定、则该随机过程在时刻yxttyxFttyxf),;,(,;,212221）（数定义为对应的二维概率密度函２)(22tt对应随机变量记为把随机过程在时刻严谨严格求实求是第三章随机信号我国的降雨量分布图就是典型的二维密度函数的例子严谨严格求实求是第三章随机信号§3.3.3随机过程的数字特征1、数学期望（均值函数）由于随机过程是由一系列随机变量组成的)()(111tatt有一个均值对应随机变量所以在时刻)()(222tatt有一个均值对应随机变量所以在时刻的函数的均值是一个关于时间可以看出随机过程)(t)()(tEta或记为)]([tEdxtxxftE),()()(t1则都是是连续的随机变量若每一时刻对应的严谨严格求实求是第三章随机信号2、随机过程的方差同理，随机过程的方差也是一个关于时间的函数，可由下式计算})]()({[)]([)(22tatEtDt)(),()()(t2122tadxtxfxt则是连续的随机变量若每个时刻对应的严谨严格求实求是第三章随机信号3、随机过程的自相关函数定义为：)]()([),(2121ttEttRdxdyttyxxyfttR),;,(),(,21221则量都是连续的随机过程对应的随机变如果每一时刻严谨严格求实求是第三章随机信号)41,21()21(212120,)sin()(]3.1[REtt及，求的分布律为是一个随机变量，其中设随机过程例函数定义解：由随机变量的均值)]21([)21()]([)(EEtEtE，212101)2sin(212120的分布律为的分布律为)2sin()21(,)sin()(tt严谨严格求实求是第三章随机信号[例3.1](续))21()21(EE21021121)2sin(E函数定义再由随机变量的自相关)]()([),(2121ttEttR)]41()21([)41,21(ER)]4sin()2[sin(E严谨严格求实求是第三章随机信号[例3.1](续)212120的分布律为2121022)4sin()2sin(的分布律为)]41()21([)41,21(ER)]4sin()2[sin(E420212221严谨严格求实求是第三章随机信号§3.4平稳随机过程的概念§3.4.1平稳随机过程的分类和定义严(狭义)平稳过程任意n维分布与时间起点无关,而只与这n点的时间间隔有关宽(广义)平稳过程不一定是严平稳过程,但具有严平稳过程的某些特征通信中遇到的绝大部分随机过程属于这一类严谨严格求实求是第三章随机信号严(狭义)平稳随机过程随机过程任意n维联合密度与时间起点无关,只与时间间隔有关1维分布与时间起点无关,则无关与时间111),(ttxf......),(),(),(312111txftxftxf即)(,),(11xfttxf可以记为无关的函数为一与即)()()(1为一常数该随机过程的均值函数adxxxfta)()()(,2122tadxxfxt其方差函数同时),()(2212无关与为一常数tadxxfx严谨严格求实求是第三章随机信号严(狭义)平稳随机过程(续)随机过程任意n维联合密度与时间起点无关2维联合分布与时间起点无关,则无关与时间111212),;,(tttxxf......),;,(),;,(2221211212ttxxfttxxf即);,(),;,(21211212xxfttxxf可记为即21112122111),;,(),(dxdxttxxfxxttR)();,(2121221有关只与dxdxxxfxx)(R严谨严格求实求是第三章随机信号由严(狭义)平稳引出宽(广义)平稳如果一个随机过程满足下列条件则称之为“宽（或广义）平稳过程”（1）均值函数为常数（2）方差函数均为常数（3）自相关函数只与两个时间点之间的时间差τ有关，而与时间起点无关以后，“平稳过程”均指“宽平稳过程”严谨严格求实求是第三章随机信号[例3.2]若X(t)和Y(t)为平稳过程，证明Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程,设X(t)、Y(t)相互独立)]([)]([)]()([)]([)1(tYEtXEtYtXEtZE均为常数与为平稳过程与)]([)]([)()(tYEtXEtYtX)()]([,)]([)]([符合第一条为常数即为常数tZEtYEtXE)]()([)]([)2(tYtXDtZD)]()([})]()({[22tYtXEtYtXE常数)]}()][({[2)]([)]([})]()({[222tYtXEtYEtXEtYtXE而)]([)]([2)]([)]([22tYEtXEtYEtXE常数严谨严格求实求是第三章随机信号[例3.2]（续）)]([)]([)]([)(22tXEtXEtXDtX常数平稳常数常数为常数同理)]([2tYE为常数)]([)]([22tYEtXE)]([tZD为常数)]()([)]([)]([2)]([)]([222tYtXEtYEtXEtYEtXE即，符合平稳第2条件严谨严格求实求是第三章随机信号[例3.2]（续）)]()([)]()([)]()([)]()([tXtYEtYtXEtYtYEtXtXERX(τ)RY(τ)常数)]([)]([tYEtXE常数)]([)]([tXEtYE)3(][条件符合平稳第有关只与可见ZR)]()([][)3(tZtZERZ)]}()()][()({[tYtXtYtXE也是平稳过程可得综合)()3)(2)(1(tZ独立和)()(tYtX严谨严格求实求是第三章随机信号§3.4.2平稳过程的各态历经性（遍历性）简单地说，一个随机过程如果做1次实验，在时间上的统计特征等于做无数次试验的统计特征，称这种过程具有遍历性用数学表示即)()(时间平均值统计平均值aa)()(___22时间方差统计方差)()())((某一样本的自相关函数统计的自相关函数RR具有遍历性的过程一定是平稳过程，但反之不一定严谨严格求实求是第三章随机信号§3.5平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度§3.5.1平稳过程自相关函数的性质StER)]([)0()1(2的平均功率)(t)]([)()2(2tER的直流功率)(t222)]([)]([)()0()3(tEtERR的交流功率)(t)()()4(RR为偶函数平稳过程的自相关函数)0()()5(RR自相关函数是有界的严谨严格求实求是第三章随机信号§3.5.2平稳过程的自相关函数和功率谱密度的关系同样符合维纳-辛钦定理，即)(R)(P平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对付立叶变换同学们可参阅例3.5.1严谨严格求实求是第三章随机信号§3.6高斯过程和高斯白噪声一、高斯过程的定义若一随机过