1 数学基础1 线性代数1 矩阵1

为什么要学习线性代数(LinearAlgebra)•量子力学的一种常用表示就称为矩阵力学，线性代数是学习量子力学必须具备的知识，而量子力学又是理论与计算化学的基础。•分析、代数、几何是数学学科的三大分支，微积分是分析的初级课程，而线性代数是代数的初级课程，是将来学习更多数学的基础。•数值计算中会常常用到线性代数，大量的计算资源被用在解线性代数方程中，线性代数是以后阅读和编写数值计算程序的基础。•《结构化学》中会用到。•矩阵•行列式•线性空间•数学、物理、工科等学科必修，很多教科书线性代数的内容一点历史•1693戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz):行列式论(theoryofdeterminants)•1848詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(JamesJosephSylvester):首先创造matrix一词计算化学1数学基础1线性代数1矩阵1内容•矩阵的定义•几种特殊矩阵•线性变换与矩阵之间一一对应•矩阵基本运算：加减乘除•转置矩阵矩阵(Matrix)•个数组成的矩形阵列•m行(row)、n列(column)：记做矩阵•矩阵中的每个数称为元素(element/entry)mn111212122112nnmmmnaaaaaaaaanjmiaij,,2,1;,,2,1mnmnijijmnAAaa几种特殊矩阵I•实矩阵、复矩阵•方矩阵：m=n，称为n阶方阵•行矩阵/行向量：只有一行的矩阵，m=1•列矩阵/列向量：只有一列的矩阵，n=112,,,naaa12maaa几种特殊矩阵II•对角矩阵：方阵，非对角元素全为0•零矩阵：全部元素均为0•单位矩阵：对角元素均为1的对角矩阵•同型矩阵：行数和列数均相等的矩阵•矩阵相等：同型矩阵,且所有对应元素均相等0ija12000000n12,,,ndiag例子346953012222222613i42195321212,,,,,,nmnxxxmyyy例子:个变量与个变量之间的关系式.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay1212,,,,,,nmxxxyyy表示一个从变量到变量的线性变换.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxaymnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵线性变换与矩阵之间一一对应若线性变换为nnxyxyxy,,2211称之为恒等变换nnxyxyxy,,2211对应100010001单位矩阵线性变换.cossin,sincos11yxyyxx对应cossinsincosXYOyxP,111,yxP这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.如何记住上述公式？矩阵运算•加、减•数与矩阵相乘•矩阵与矩阵相乘mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111矩阵的加法设有两个矩阵则矩阵与的和记作nmijijAaBbABBA只有同型矩阵才能进行加法运算例子12345698186309153121826334059619583112.98644741113矩阵加法的运算规律ABBAABCABC(1)交换律(2)结合律负矩阵和矩阵的减法111212122211nnijmmmnaaaaaaAaaaaA矩阵的负矩阵ABAB矩阵的减法111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaa数与矩阵相乘规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA(1)(2)(3).AAAAAABAB结合律分配律分配律数与矩阵相乘的运算规律矩阵相加和数与矩阵相乘,统称为矩阵的线性运算设为矩阵，为数,nmBA、skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijaAsmijbBnsnmijcCAB例１222263422142C221632816设415003112101A121113121430B例2故121113121430415003112101ABC.解,43ijaA,34ijbB.33ijcC567102621710只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如123321132231.10不存在矩阵乘法的运算规律12,3 4,,5,kkkkmkmkmmkABCABCABCABACBCABACAAEEAAEAAkAAAAAAAAAmABAkB个结合律分配律是单位矩阵为的次幂，为正不满足交换律，即：在量子力学中整数有对应规律！例设1111A1111B则,0000AB,2222BA.BAAB故但也有例外，比如设,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB?AABABeeee？00000!!(!!!nxnnAnnnmABABnnmababABABxenAenABABeeennmeeeeee，如果用这个公式计算的话将非常复杂，几节课后会介绍简单的计算方法。），，，但并不一定成立，为什么？定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.AAA例,854221A;825241TA,618B.618TB转置矩阵转置矩阵的运算性质;1AATT;2TTTBABA;3TTAA.4TTTABABTTTABBA证明111:::::()()()()TTTTTnijjijkkiknnTTTTijijikkjkijkkkijijAmnAnmBnlBlnABmlCABlmDBACDCABABDBABABACD和同型所用到的技巧会经常用到总结•矩阵的定义•几种特殊矩阵•线性变换与矩阵之间一一对应•矩阵基本运算：加减乘除•转置矩阵