大学文科数学4

1第四章导数的应用问题洛必塔法则、函数的性质和图像2/28/53/701、认识中值定理、洛必塔法则2、基本掌握用导数研究函数的性质和绘制函数的图像的方法3、掌握利用洛必达法则求极限的方法4、了解业余数学家费马的事迹及其对数学的贡献1、拉格朗日中值定理2、洛必塔法则求极限的方法3、函数的极值和最值教学目标教学重点3/28/53/70§1联结局部与整体的纽带——中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。4/28/53/70先介绍函数极值的定义oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x1.1、费马定理5/28/53/70.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.oxyoxy0x0x6/28/53/70费马定理如果函数)(xf在)(00xux的某邻域有定义，且在0x处可导,若对任意的)(0xux,有)()(0xfxf（或)()(0xfxf）。则0)('0xf。oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)7/28/53/70定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x8/28/53/70补充：罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f)1()2()3(ab12xyo)(xfyC10/28/53/70注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,];2,2[,xxy,,)0(]2,2[一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在f.0)(xf但在内找不到一点能使;0)0(],1,0(,1fxxy].1,0[,xxy又例如,不满足端点相等条件。不满足闭区间条件。2yo20)('),(),()(3,),()(:2,],[)(:1＝，则：可导在连续在fbabfafbaxfbaxfab12xyo)(xfyC11/28/53/701.2拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf条件中去掉了与罗尔定理相比注意).()()(fabafbf结论亦可写成babfaffbabfafbaxfbaxf)()(0)('),(),()(,),()(,],[)(＝，则可导在连续在若ab12xyo)(xfyCab12xxoy)(xfyABCDNM12/28/53/70ab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB弦在该点处的切线平行于上至少有一点在曲线弧babfaffbabaxfbaxf)()()('),(,),()(,],[)(，则可导在连续在若注意:拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.).)(()()(abfafbf或即：反映了函数在[a,b]上整体变化的平均变化率和区间内某点出局部变化率之间的关系。－－是连接整体与局部的桥梁！.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数推论：IxfIxf13/28/53/70§2计算不定式极限的一般方法——洛必塔法则洛必达法则型未定式解法型及一、:00型未定式解法二、00,1,0,,014/28/53/70洛必达法则型未定式解法型及一、:00定义.00)()(lim,)()(,)()(型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当xFxfxFxfxaxxax例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(15/28/53/70.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;0)(,0)(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在函数时当定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意：三个条件都要符合。xxxx若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续使用洛必达法则！16/28/53/70例1解.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.1例2解.123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23)00()00(随时检查是否满足定理条件！17/28/53/70例3解.lnlimnxxx求''lnlimnxxx原式nxnxxnnxx1lim11lim1.0例4解.sinlnsinlnlim0bxaxx求bxbxbaxaxaxsincossincoslim0原式.1)(axbxbxbxaxaxxsincossincoslim0)(若出现复杂分式可化简后再判断是否可以再次使用洛必达法则！axbxbbxaxaxsincossincoslim018/28/53/70例5解.3tantanlim2xxx求xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2.3)(若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续使用洛必达法则！19/28/53/70型未定式解法二、00,1,0,,0例7解.lim2xxex求)0(2limxexx原式2limxxe.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(型0.1步骤:,10.0100或xexx2lim20/28/53/70例8解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxx2cos1lim0.0型.2步骤:20sinlimxxxx2sinlim0xx21/28/53/70例12解.coslim20xxexx求注意：洛必达法则的使用条件．0.0洛必达法则只能对或型未定式使用xxexx2sinlim0＋＝原式洛.必达法则：已是定式，继续使用洛＋若没注意到xxexx2sinlim012coslim2sinlimcoslim0020xexxexxexxxxxx＋定型。之前都应检查是否为未故每次使用洛必达法则22/28/53/70§3用导数研究函数的性质——单调性、极值和最值23/28/53/70一、单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf定理.0)(.),()(0)()2(),()(0)(1),(.),()(只在个别点处成立＝而使上单调减少在，则若上单调增加；在，则若）（内在内可导在设函数xfbaxfyxfbaxfyxfbabaxfyabBA)())(()()(211212xxxxfxfxf注意：y=f(x)若在[a,b]上连续，单调区间也是[a,b],若在[a,b)上连续，单调区间也是[a,b)这是由连续性所保证。24/28/53/70例1解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．).,(:D又25/28/53/70二、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xfx1x2x3x4x5对一般函数而言：极值点不一定是驻点。驻点不一定是极值点。26/28/53/70(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x(不是极值点情形)0)(')(00xfxxf的邻域可导且在27/28/53/70求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根）和不可导的点求出所有驻点（xf;,)()3(判断极值点的正负号在驻点及不可导点左右检查xf.)4(求极值xyoxyo0x0xx1x2x3x4x5极值点可能出现的两个位置28/28/53/70例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx29/28/53/70593)(23xxxxfMm图形如下30/28/53/70例3解.)1)(4()(32的极值求出函数xxxf)1()1)(1(35)()131xxxxf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,10)()2xxf，可得驻点＝令是极大值点。故内，内，1;0)()1,1(;0)()1,)(3xxfxf是极小值点。故内，1;0)(),1(xxf.43)1(,0)1()43－极小值为极大值为ff是不可导点。而1x1131/28/53/70设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(0