机械动力学-变质量

第六章具有变质量构件的机械动力学6.1概述在以前所研究的机械系统中,各构件的质量和转动惯量均为常量,然而在实际机构中,有些构件的质量和转动惯量以及质心的位置是变化的；图示为一些变质量机械系统的实例。考虑质量变化的机械动力学问题是比较复杂的。本章只给出一般概念和方法。主要是：1.变质量质点的运动微分方程;2.由变质量质点组成的质点系--变质量构件;3.具有变质量构件的机械系统;6.2变质量质点的运动方程式变质量质点动力学的基础是连续碰撞理论。0''lim(6.1),,(ttmvFtmutmmvvQdQFtdtQQQQtttQmvmuQm在某瞬时,质点的质量为,它的绝对速度是,作用其上的外力的合力.在时间间隔中有微粒质量以绝对速度附加到该质点上,这样,经过时间后,质点的质量变为,绝对速度成为,根据动量定理有:是动量,是动量的增量,设分别是时刻和的动量,则有:')()()()()()()(6.2):()(6.3)mvvQQQmmvvmvmumvmvumvmvdQdvdmmvuFdtdtdtdvdmormFuvdtdt略去高阶微量:(6.4):()(6.5)(6.4)(6.6)(6.6)rrrrrrrrletvuvdvmFmvdtmmmvvdmletFuvmvdtFdvmFFdt为微粒相对于质点的速度,则有是质量的变化率,表示附加质量引起的附加力,其方向和相对速度的方向相同.称为,所以式可写为:冲力式即为变质量质点的运动方程0(6.7):()mtudvdmmFvdtdtdormvFdt式.其形式和不变质量质点的运动方程式相同,但右边多了一个项,同时质量也是变量,是时间的函数.如果质点进入或分离出去的速度,则冲力例6-1(详细讲解)00000,,()0(1)010(6.3,)vuuvxtvvvMMmttMgtx设一圆柱形重物材质均匀圆柱的轴线垂直于地面,它以速度垂直向上运动,从其上端面以等速度向上喷出微粒,因此物体质量逐渐减小.设减小量与时间成正比,试分析物体的运动.解:取轴垂直向下,当时,物体的初速度为,因向上,在本坐标系中为,设物体的质量是,,,物体上作用有重力,在时间的速度为,由式,得:(),()1dxdMMMguxdtdtdMdxmguxdtdtt112002(),1:111[]120,,1[12dtdtttdxguxdttdxuorgdttxuxegedttggttCttxvvCgxgtgtt这是的一阶线性微分方程,其解为:根据初始条件:来决定积分常数C200]211,(0)tutvgtutvgtttxt该式给出了物体速度的变化规律,6.3变质量构件的运动方程式1.变质量刚体及其运动方程式物体是一个质点系。如果各质点间的距离（相对位置）不变，则该物体是刚体。变质量构件刚体假设：其中有些微粒离开它，一旦离开就不再属于该刚体了，而所研究的构件中剩下的部分各质点间相对位置仍保持不变；如果有些微粒要加进去，则一旦附加进去，就属于该刚体的一部分。变质量刚体的运动方程式：iitmr在瞬时,研究两个质点系,由质量为,向径为组成的刚体(质点系A);占据同一位置的微粒质点(质1.2.点系B)(6.8),,,iiiiiiiiiiiEiIiTiNiEiIiTiNiiiiidmvrumdmtdtmdmdmidvmFFFFdtFFFFidvmdt在相应的点有质量.以与分别表示和的绝对速度,在瞬间时,每一对和看成为一个系统内质点,即附加进入所研究的刚体中.对于质点系A中任一点可列出:分别是质点上受的外力,内力,冲力和约束反力.对整个质点系有:1(6.9),,0nETNETNIiFFFFFFF分别是外力,冲力和约束反力的主向量.注意:这里有,即所有内力之和为零.'''''11'''1(6.9),(6.10)0,,ssnniiiisiiniiiisirSrmrmrmrrSimmrrri对公式再进一步推导:设物体的质心位于S,-它的向径为变质量刚体中各质点的距离虽不变,但因质量发生变化,质心位置是变动的,质心S将相对于刚体变动.设瞬时和质心S重合的刚体上的点为,其向径为,则或其中自点到的距离,设点的速''''''1'''1111'1(6.11)(6.11)()()iiniisisnnnniiiiiiissiiiiniissivamvmvvSmvmvrmvmrmvmrmv度为,加速度,则为点的速度,即质心S的牵连速度.证明如下:为刚体的角速度''''''1''2'11'2'111(6.12)()(6.12)(6.13)(6.9)niisisnniiiiisiinniiiissiiniisimamaaSmamarrmamrmrmadvmmadt同样可得为点的加速度,即质心S的牵连加速度.式也可写成:故式也可写成'(6.14)(6.14)ETNsmaFFF:式即为变质量刚体的移动运动方程.''''11''''21(6.8)()(6.15),,[(inniiiiEiIiTiNiiiETNETNniiiiiiisirdvrmrFFFFdtMMMMMMSdvrmrmarrdt对于转动,以叉乘(矢量积)式并求和:分别为所有外力,冲力和约束反力对点的力矩之和.上式左边项可化简为:''''''1''11'2'2''11'''211)]()()0()()0()(6.16)(6.16)ninniiiissiinniiiiiiiinniiiiisiiETNssrmamrarmrmrrrmrmrJJMMMJ式即为变质量刚体的转动运动方程.注意,式中因质心位置的变化,为变量.2.变质量构件的一般情况在上面推导中认为质点对刚体没有相对运动。但更一般情况是某些质点可能对刚体有相对运动，如下图所示的火箭筒。火箭筒外壳和机器看成为刚体，燃料（变质量质点）燃烧后相对于火箭喷管逐渐加速并喷出，使火箭产生冲力。这些质点给管壁上的作用力为相互作用力。它们在离开火箭前相对于刚体运动。12111122..iiiiiiiiiiitAmAmOxyOxyArmmFFAvmv1.刚体1,包括火箭中的壳体,机器等不变部分;刚体1中质点的质量.2.变质量质点系2,瞬时和刚体1上的点重合的点的质量为火箭中的燃料,燃气相当于质点系2.研究思路:在瞬时研究两个质建立固定坐标系和固结于刚体上动坐标系设点的向径,和间的相互作用力及,点点系的绝对速度,的绝对速度;2121111222222222(6.17)(6.18):(),iiiiiEiIiNiiiiEiIiTiiiTiiiiimmdvmFFFFdtdvmFFFFdtdmFuvumdt,对及分别有:其中是的绝对速度.2212212121,,(6.19)(6.19)(6.18)(6.17)(6.20):,iiiirkiirkiiiiiiiEiIiNiiiiiEiEiEiIiIiIdvdvaadtdtaadvdvaaadtdtdvmFFFRdtmmmFFFFFF它等于牵连加速度相对加速度和哥氏加速度之和.综合三式,得其中212212,(6.20),iNiNiNirkrkiTiiiiTiiiiiiiiiFFFRFmaaFFFRtAmmmR式称为,,可理解为:在瞬时把变质量质点假想地固结到刚体上点组成一个具有质量为的新质点,除了作用附加力,它是冲力,相对运动惯性于上的外力,内力,约束反力(外力和哥氏惯性,还有力之和.附加力).''1(6.20)(6.21),,0(6.22)niiENiEEiNNiiIIiENSSdvmFFRdtFFFFRRFFmaFFRatS于是得到变质量构件的瞬时质心运动对所有质点列出方程式,总和起来这里:注意,内力之和方程:为瞬时,质心(包括不变和变质量系的总为零:质心)的牵连加速度.和不变质量系构件相比,(6.22)(6.14)00,(6.22)(6.14).rTikimSRRFaa质量和质心位置是变化的,且运动方程右边多了一项附加力.和相比,以代替了.如质点无相对运动,即,式即成为所以变质量刚体为所研究的一般情况的一个特例.P262例6-2,(讲解,下页讲稿)P264例6-3(自学和复习)6.4变质量构件的能量形式的运动方程式在很多情况下,采用能量形式的运动方程式求解变质量构件更为方便。因为它不需要对每一个构件进行力和运动的分析，而且也不需知道未知约束反力。1.以能量形式表示的运动方程式''''(6.16)(6.23),,ENRsENsRJMMMJtSMMMS和式类似,有为瞬时时,构件对点的转动惯量.所有外力,约束力和附加力对点的力矩之和,为构件的角加速度.P262例6-2:1.一链条堆在平台上，用常力F水平拉它，链条与平台的磨擦系数为f，链条单位长度质量为，试分析其运动。解：22()),),(0(fTfTxmxFfmgfgxdtdxdmdxdmdmdmFuvxxxdtdtdtdxxvdtdxmFFFFfgxxOdt从点拉出的长度OA=,则参加运动的质量是磨擦力运动部分的链条可看成一变质量刚体,经过,链条伸长,有微小质量并入运动着的链条.冲力链条的运动方程为2211221222220,22mxzxdxdxdxdxdxdzxdtdxdtdxdxdxdzxFfgxzdxdzFxfgxzdxdzzFxfgdxxxzFx因链条平动,故无转动方程式.将代入运动方程,并令,则作变量置换后,运动方程:当这是的一阶线性微分方程,经用积分因子方法,可求解得链条的运动规律(过程略):216tfgt(6.20)[](6.24),,0(6.24)12iiiiEiIiNiiiENRENRIiiiiiiiivdtdvmvdtFFFRvdtdtdWdWdWdWdWdWFvdtdvmvdtmvdvdt对式两边点积,并总和起来:其中分别是作用于构件上所有外力,约束反力和附加力在牵连运动中作的功.这里有内力所作元功之和为零:左边项:22222()121111()()()2222iiiiiiiiiiiiiimdvvmdvmdmvvdmmdvmdv是变量,***2*2*2**,,111()()222(6.5,2)iiiiiieeeENRdddddtmdvdmvdmvdEEdEdWdWdW为计算方便采用局部微分符号和局部求导符号暂时认为质量是常量,即构件暂时被固化,牵连运动它和变质量构件真正的动能这里为该瞬时,刚体连同其上变质量质点在中具有的动能是不相同,的!*(6.26)(6.26)(6.27)eENRdENNNdt即为能量形式的运动方程式.也可以用功率形式表示:2.动能的计算设想把变质量质点固结在刚体上,与其一起运动的动能为''''''''''''''''212222222222212,()()2,neiiiisissisiiisissisiiissisisissiiiiisisEmvvvvvvmvmvvvvmvmvmvvmvmvmvmmJ刚