指数对数幂函数知识点总结

高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2整理人：沈兴灿审核人：沈兴灿一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质(1)(0,,)rsrsaaaarsR.(2)()(0,,)rsrsaaarsR.(3)()(0,0,)rrrabababrR.（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；规律：底数a保持不变3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化。规律：底数a保持不变幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数（二）对数的运算性质(1)负数和零没有对数；(2)1的对数是0，即01loga(a＞0,且a≠1)；特殊地：ln10(3)底的对数是1，即1logaa(a＞0,且a≠1)；特别地：ln1e（三）对数运算法则。若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR.(4)NnNanalog1log（5）对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,,0mn,且1m,1n,0N).abbalog1log(a＞0,且b＞0).（6）指数恒等式：aNaNlog（由②Nlogb①Naab，,将②代入①得aNaNlog）（7）对数恒等式：loglog()naaanannR（四）对数值的正负判断规律：对数Nalog的底数a与真数N同属于区间(0,1)或（1，+∞）时log0aN例：0.33log0.80;log20对数Nalog的底数a与真数N分别属于区间(0,1)或（1，+∞）时log0aN例：0.31.6log80;log0.70（五）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．3、对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）注：设函数)0)((log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.4．几个特殊值为底数的函数图象：三、幂函数1定义：形如)(Rxy的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数。注意：幂函数与指数函数有何不同？【提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．2．由具体幂函数的图像和性质：yx2yx3yx12yx1yx图像定义域RRR(0,)(,0)(0,)值域R[0,)R[0,)(,0)(0,)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R上增在R上增[0,)上增(0,)上减(,0)也是减公共点恒过（1，1）归纳：幂函数在第一象限的性质：0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间(0,)上单调递增。0，图像过定点（1,1），在区间(0,)上单调递减。附：拓展探究*(有余力的同学可以思考)：整数m,n的奇偶与幂函数nmxy),,,(互质且nmZnm的定义域以及奇偶性有什么关系？（先转化为根式再判断）结果：形如nmxy),,,(互质且nmZnm的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.