一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）判别式的情况根的情况定理与逆定理△＞021242bbacxa、＝△＞0方程有两个不相等的实数根△＝012022bbxaa、＝＝△＝0方程有两个相等的实数根△＜02124bacxx无意义、、不存在△＜0方程没有实数根3、一元二次方程根的判别式的多种应用：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0有两个实数根？三、证明方程根的性质。例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。五、判定二次三项式为完全平方式。例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。六、利用判别式构造一元二次方程。例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。八、与几何知识相联系的问题。例9、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。例10、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。九、判断其他类方程根的情况。例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。十、解决二次函数的相关问题。例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。例15、求证：无论m为何值，二次函数y=x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ0时没有交点（或者说当a0时函数值恒为正，当a0时函数值恒为负）。十一、求最值问题。例17、已知x为任意实数，求的最值。十二、巧解方程（组）。例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的实数解。