2018年全国卷3文科数学试题及参考答案

2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第1页（共13页）绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合|10Axx，0,1,2B，则AB()A．0B．1C．1,2D．0,1,2【答案】C【解析】:1Ax，1,2AB【考点】交集2．12ii()A．3iB．3iC．3iD．3i【答案】D【解析】21223iiiii【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第2页（共13页）【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图4.若1sin3，则cos2()A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】27cos212sin9【考点】余弦的二倍角公式5.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【解析】10.450.150.4【考点】互斥事件的概率6.函数2tan1tanxfxx的最小正周期为()俯视方向D.C.B.A.2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第3页（共13页）A．4B．2C．D．2【答案】C【解析】2222tantancos1sincossin2221tan1tancosxxxfxxxxxkxxx，22T(定义域并没有影响到周期)【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期7.下列函数中，其图像与函数lnyx的图像关于直线1x对称的是A．ln1yxB．ln2yxC．ln1yxD．ln2yx【答案】B【解析】采用特殊值法，在lnyx取一点3,ln3A，则A点关于直线1x的对称点为'1,ln3A应该在所求函数上，排除A，C，D【考点】函数关于直线对称8．直线20xy分别与x轴、y轴交于点,AB两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是()A．2,6B．4,8C．2,32D．22,32【答案】A【解析】2,0,0,2AB，22AB，可设22cos,2sinP，则42sin4222sin2,3242PABd122,62ABPPABPABSABdd注：PABd的范围也可以这样求：设圆心为O，则2,0O，故2,2PABOABOABddd，而4222OABd，2,32PABd【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第4页（共13页）9．422yxx的图像大致为()【答案】D【解析】12f，排除A、B；32'42212yxxxx，故函数在20,2单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)10.已知双曲线的2222:10,0xyCabab的离心率为2，则点4,0到C的渐近线的距离为A．2B．2C．322D．22【答案】D【解析】2212cbeabaa渐近线为0xy故4222d【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化xxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO1111112018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第5页（共13页）11.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC的面积为2224abc，则C()A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】2221sin24ABCabcSabC，而222cos2abcCab故12cos1sincos242abCabCabC，4C【考点】三角形面积公式、余弦定理12.设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC的体积最大值为()A．123B．183C．243D．543【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心，易知OF底面ABC，当,,DOF三点共线，即DF底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也最大.此时：693ABCABCABS等边，在等边ABC中，232333BFBEAB，在RtOFB中，易知2OF，6DF，故max19361833DABCV【考点】外接球、椎体体积最值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量1,2a，2,2b，1,c.若//2cab，则_______.OFECBAD2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第6页（共13页）【答案】12【解析】24,2ab，故24【考点】向量平行的坐标运算14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是______.【答案】分层抽样【解析】题干中说道“不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异”，所以应该按照年龄进行分层抽样【考点】抽样方法的区别15.若变量,xy满足约束条件23024020xyxyx，则13zxy的最大值是_________.【答案】3【解析】采用交点法：(1)(2)交点为2,1，(2)(3)交点为2,3，(1)(3)交点为2,7分别代入目标函数得到53，3，13，故最大值为3(为了严谨可以将最大值点2,3代入方程(1)检验一下可行域的封闭性)本题也可以用正常的画图去做【考点】线性规划16.已知函数2ln11fxxx，4fa，则_______.fa【答案】2【解析】令2ln1gxxx，则2ln1gxxxgx，14faga，而112fagaga【考点】对数型函数的奇偶性2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第7页（共13页）三.解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.(12分)等比数列na中，1531,4aaa.(1)求na的通项公式；(2)记nS为na的前n项和.若63mS，求m.【答案】(1)12nna或12nna；(2)6m【解析】(1)25334aaaq，2q，12nna或12nna(2)当2q时，112631mmS，解得6m当2q时，112633mmS，得2188m无解综上：6m【考点】等比数列通项公式与前n项和公式18.(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第8页（共13页）第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22nadbcKabcdacbd，2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E同理274.7E，21EE，故第二组生产方式效率更高(2)由茎叶图可知，中位数7981802m，且列联表为：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由(2)可知222240155106.63520202020K，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是CD上异于,CD的点．(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD？说明理由.2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第9页（共13页）【答案】(1)见解析；(2)P为AM中点【解析】(1)ABCDCDMBCDCMBCDMDMBMCADNBMCBCCDMCDM(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)当P为AM的中点时，//MC平面PBD.证明如下连接BD，AC交于点O，易知O为AC中点，取AM中点P，连接PO，则//POAC，又MC平面PBD，PO平面PBD，所以//MC平面PBD【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆22:143xyC交于,AB两点，线段AB的中点为1,0Mmm.(1)证明：12k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB.证明2FPFAFB.【答案】(1)见解析；(2)见解析MBCDAPOMBCDA2018年全国卷3文科数学试题及其参考答案第10页（共13页）【解析】(1)点差法：设1122,,,AxyBxy，则22112222143143xyxy相减化简可得：1212121234yyyyxxxx，34OMABkk(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34mk，易知中点M在椭圆内，21143m，代入可得12k或12k，又0m，0k，综上12k联立法：设直线方程为ykxn，且