高考数学圆锥曲线压轴题专题训练(精华)概要

bb学生姓名年级高三授课时间教师姓名刘课时02-圆锥曲线压轴题-分类训练【知识点】1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan,[0,)k②点到直线的距离0022AxByCdAB③夹角公式：2121tan1kkkk（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离：2121ABkxx221212(1)[()4]kxxxx或12211AByyk（4）两条直线的位置关系①1212llkk=-1②212121//bbkkll且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)xymnmn距离式方程：2222|()()|2xcyxcya（3）抛物线22(0)ypxp(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222bbpaa椭圆：；双曲线：；抛物线：3.方法（1）点差法（中点弦问题）设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxABk=ba43（2）联立消元法：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)AxyBxy，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。【课堂练习】题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系bb例题1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围解：根据直线:1lykx的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14xyCm过动点0),4mm（，且，如果直线:1lykx和椭圆22:14xyCm始终有交点，则14mm，且，即14mm且。题型二：弦的垂直平分线问题。注：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk即2104k②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk，令y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223141122kkkkk解得3913k满足②式此时053x。例题3、已知椭圆1222yx的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与2x相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-上21bb设M(-t,21)，则圆半径：r=|(-21)-(-2)|=23由|OM|=r，得23)21(22t，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y±2)2=49.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，代入22x+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-,12422kk2012212(),221kxxxk002(1)21kykxk∴AB垂直平分线NG的方程为)(100xxkyy令y=0，得22002222121Ckkxxkykk2221121242kkk∵.021,0cxk∴点G横坐标的取值范围为（0,21）。题型三：动弦过定点的问题例题4、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：（I）由已知椭圆C的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy（II）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)ykx，由122(2)44ykxxy消y整理得222121(14)161640kxkxk12x和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点M的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414kkkkbb12(2),(2)ppyktykt12122kkkkt，直线MN的方程为：121121yyyyxxxx，令y=0，得211212xyxyxyy，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt又2t，402t椭圆的焦点为(3,0)43t，即433t故当433t时，MN过椭圆的焦点。例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线mkxyl：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。解（I）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb22143xy（II）设1122(,),(,)AxyBxy，由223412ykxmxy得：222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km212122284(3),3434mkmxxxxkk（注意：这一步是同类坐标变换）22221212121223(4)()()()34mkyykxmkxmkxxmkxxmk（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D且1ADBDkk，1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0)7，综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7题型四：过已知曲线上定点的弦的问题。直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。例题6、已知点A、B、C是椭圆E：bb22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。解：(I)2BCAC，且BC过椭圆的中心OOCAC0ACBC2ACO，又A(23,0)点C的坐标为(3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点，23a，则椭圆方程为：222112xyb将点C(3,3)代入方程，得24b，椭圆E的方程为221124xy(II)直线PC与直线QC关于直线3x对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：3(3)ykx，即3(1)ykxk，由223(1)3120ykxkxy消y，整理得：222(13)63(1)91830kxkkxkk3x是方程的一个根，229183313Pkkxk即2291833(13)Pkkxk同理可得：2291833(13)Qkkxk3(1)3(1)PQPQyykxkkxk＝()23PQkxxk＝2123(13)kk2222918391833(13)3(13)PQkkkkxxkk＝2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线PQ的斜率为定值13。题型五：共线向量问题。解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理------同类坐标变换，将问题解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：29x+24y=1于P、Q两点，且DPDQl=uuuruuur,求实数l的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),由DPDQl=uuuruuur得(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即12123(3)xxyyllì=ïïïíï=+-ïïî方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆29x+24y=1上的点bb22222222194()(33)194xyxylllìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî消去x2，可得222222(33)14yyllll+--=-即y2=1356ll-又Q在椭圆上，－2≤y2≤2，∴－2≤1356ll-≤2解之得：155则实数l的取值范围是1,55。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：3,0ykxk，由2234936ykxxy消y整理后，得22(49)54450kxkxP、Q是曲线M上的两点22(54)445(49)kk＝2144800k即295k①由韦达定理得：1212225445,4949kxxxxkk212121221()2xxxxxxxx222254(1)45(49)kk即22223694415(1)99kkk②由①得211095k，代入②，整理得236915(1)5，解之得155当直线PQ的斜率不存在，即0x时，易知5或15。总之实数l的取