高等物理光学空间频率和角谱

高等物理光学2016年10月目录123空间频率二维傅里叶变换平面波的角谱波的时间周期性波的空间周期性周期：空间周期：频率：空间频率：角频率：空间角频率：时空联系：TT11fTw2222fkkwT空间频率v=wTfk波矢量k表示光波的传播方向，其大小为：方向余弦为：、、2kcoscoscos)](2exp[coscoscosexpexp,,zfyfxfjAzyxjkArjkAzyxUzyx空间频率：、、cosxfcosyfcoszf平面波的空间频率在θ方向观察时，波的空间周期是r，相应的空间频率为zk0显然，当＝/2时，沿x方向的空间频率为零。平面波的空间频率cos=rrf1平面波的空间频率1coaxfxf在X轴上单位周期内的所具有的震荡次数平面波的空间频率cosxfcosyfcoszf1coscoscos22222coscos1cos22(x,y,)(x,y,0)exp1coscosUzUjkz22(x,y,)exp[2(xfyf)]exp1coscosxyUzAjjkz0coscoscoscoscoscos(,,0)(,)exp[2()]ddUxyAjxy平面波的二维傅里叶变换设有一单色光波沿着z方向投射XY平面上，在z＝0处的光场为(x,y,0)，则函数U在XY平面上的二维傅里叶变换是：0(,)(,,0)exp[2()]ddxyxyAffUxyjxfyfxy同时存在逆变换：角谱对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可求得该信号的频谱分布。同样，若对任一平面上的光场分布作空间坐标的二维博里叶变换，则可求得该光信号的“空间频谱”分布。由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量．可看作是沿不同方向传播的平面波，因此可称“空间频谱”为平面波的角谱。角谱U（x,y,0）可理解为不同空间频率的一系列基元函数exp[j2π(xfx+yfy)]之和，其叠加权重为A（fx,fy）。基元函数就是空间频率为（fx,fy）或者说方向余弦为cosα,cosβ的平面波。权重因子A（fx,fy）为该方向的即该空间频率的平面波的复振幅。因此，单色光波在某一平面上的光场分别可以看做是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和相位，它们的值分别为角谱的模和幅角。角谱的传播22(x,y,)(x,y,0)exp1coscosUzUjkz(,,z)(,,z)exp[2()]ddxyxyxyUxyAffjfxfyff角谱的传播coscos(,,)AzZ=0平面的角谱Z=z平面的角谱关系？0coscos(,)A角谱的传播•复振幅U满足亥姆霍兹方程•所满足的波动方程为22kU0coscos(,z)A，22222(1coscos)0AkAz(,,z)(,,z)exp[2()]ddxyxyxyUxyAffjfxfyff角谱的传播•解微分方程，得到方程的一个基本解是•由边界条件确定。在z=0处角谱是，因此22coscoscoscos(,,z)(,)exp1coscosAAjkzcoscosA(,)0coscos(,)A0coscoscoscosA(,)A(,)角谱的传播220coscoscoscos(,,)(,)exp1coscosAzAjkz经过距离z的传播只是改变了各个角谱分量的相对相位，这是由于每个平面波分量在不同的方向上传播，它们到达给定的点所经过的距离不同引起的。引入相位延迟因子：22exp1coscosjkz角谱的传播220(,,z)(,,z)exp[2()]dd=(,)exp1coscosexp[2()]ddxyxyxyxyxyxyUxyAffjfxfyffAffjkzjfxfyff局域空间频率一个函数的傅里叶成分的每个部分都是由特定空间频率的复指数构成的，而每个频率成分可以分布在整个（x，y）空间域中。空间频率和空间坐标没有必然联系。然而，特定的空间频率或频段可以局限在（x，y）空间的某些确定区域内。局域空间频率具有单一空间频率的基元复指数函数其空间频率可以这样求得(,)xyff(,)exp[2()]xygxyajfxfy11[2()],[2()]22xxyyxyffxfyffxfyxy局域空间频率一般的复指数函数(,)(,)exp[(,)]gxyaxyjxy11(,),(,)22lxlyfxyfxyxy定义g(x,y)的空间频率为(,)lxlyff在g(x,y)=0的区域0,0lxlyff局域空间频率举例x(,)exp[2()]rectrectxyyxygxyjfxfyLL1[2()]2lxxyxffxfyfx1[2()]2lyxyyffxfyfy