2 轴向拉伸与压缩(1)

1第二章轴向拉伸和压缩2第二章轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-4拉（压）杆的变形·胡克定律§2-2内力·截面法·轴力及轴力图§2-3应力·拉（压）杆内的应力§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-5拉（压）杆内的应变能§2-7强度条件·安全因数·许用应力§2-8应力集中的概念3§2-1轴向拉伸和压缩的概念一、实例456变形特点:杆件沿轴向伸长或缩短（伴随横向缩扩）。轴向拉伸(axialtension)：轴向伸长，横向缩短。受力特点:外力的合力作用线与杆的轴线重合。FF拉伸FF压缩二、轴向拉伸与压缩的变形特点：轴向压缩(axialcompress)：轴向缩短，横向变粗。7一、内力§2-2内力·截面法·轴力及轴力图固有内力：物体没有受到外力时，这种内力也是存在的，它用来维持物体各部分之间的联系，并保持其原有形状。附加内力：物体受到外力而变形时，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用力的改变量。物体内部各相邻部分之间的相互作用力。材料力学所研究的内力就是“附加内力”，这种内力随外力的增大而增大，达到某一限度时就会引起构件的破坏。8可见，构件的强度与内力是密切相关的。如图两相同杆件，受力不同，问随着F的逐渐增大，哪一杆先破坏？FF2F2F下面用截面法求轴向拉压杆的内力由均匀连续性假设，物体内部相邻部分之间的相互作用力，是一个连续分布的内力系，将其合成结果（力或力偶），简称为内力。9可见，拉、压杆的内力为沿杆件轴线的力，故称为轴力(axialforce)，记为FN。联系变形规定内力符号：拉为正，压为负。FFmmFmmFmmFN{FN}x0xF0NFFFFN轴力图：表示杆件轴力与杆件截面位置关系的图线。取左侧为研究对象同样可取右侧为研究对象可一目了然看清内力随着杆截面位置变化而变化的情况二、截面法·轴力及轴力图（截、代、平）10已知F1=10kN，F2=20kN，F3=35kN，F4=25kN。试画出图示杆件的轴力图。1101N1FF[例1]FN1F1解：1.计算各段的轴力F1F3F2F4ABCDAB段kN1021N2FFFBC段2233FN3F4FN2F1F2012N2FFFkN254N3FFCD段2.绘制轴力图。kN101N1FF04N3FFx–FN10kN10kN25kN⊕⊕111反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；2确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，可确定危险截面位置，为强度计算提供依据。意义:轴力图的特点：突变值=集中载荷值轴力图要求：1.位置（对应关系）2.分段明确3.正负号标注清楚4.数值大小和单位5.封闭的实线图F1F3F2F4ABCD–10kN10kN25kN⊕⊕12[例2]杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。已知F1=20kN，F2=30kN，F3=30kN。CD段：DE段：20kNN1FAB段：40kNAN4RF轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。解：40kN20kN10kNFNBC段：10kN2030N3F10kN2030N2F求约束反力2NFADEBCF3F1F2112233441F1F2F1NF1F2F3NF4NFARkN40ARAR–+13[例3]直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。2FF2F5FABCEDFN2F3FF–++14[例4]直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。F2F2FF2F⊕⊕15[例5]图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试画此砖柱的轴力图。y350FnnAyGFFNy0NyFAyFyAyFFNy46.25050kN58.6kN16可见，构件的强度不仅与内力有关，而且与截面上的分布内力集度有关。如图两杆件，除横截面尺寸不同外，其它均相同，问随着F的逐渐增大，哪一杆先破坏？问：FFFF§2-3应力·拉（压）杆内的应力受力杆件某一截面上一点处的内力集度，称为应力。17C点处的总应力：AFAFpAddlim0应力的单位为Pa总应力p可分解为一、应力的概念4F3FFAC4F3FpCAFpm△A处的平均应力:切应力垂直于截面相切于截面正应力1N/m2=1Pa1MPa=106Pa1GPa=109Pa看书P12.18变形前1.实验观察变形：2.平面假设(planeassumption)：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。abcd变形后FFd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力193.横截面上的应力分布：如设想杆由无数根纵向纤维组成，则由上平面假设可知，每根纤维所受力相等，即横截面上的应力是均匀分布的。4.横截面上应力公式AAFdNσAFNAAFdNσxFNσdAFNF20正应力符号规定:单位:FN牛顿(N)A平方米(m2)帕斯卡(pa)当FN为拉力时，为拉应力，规定为正，当FN为压力时，为压应力，规定为负。AFN1MPa=106Pa1GPa=109Pa214.公式的应用条件圣文南原理：离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。22⑴截面到载荷作用点有一定的距离。公式的应用条件：⑵直杆的截面无突变。AFN对等直杆AFmaxN,max即，对等直杆最大轴力所在的截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。23[例题1]一变截面圆钢杆ABCD如图示，试（1）作杆的轴力图；（2）求杆的最大正应力。已知F1=20kN，F2=F3=35kN，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。1F3F2F解：1、作杆的轴力图。-+kN50kN205kN12、求最大正应力。211N11N14dFAF623101214.310204MPa8.176Pa108.1766112233241F3F2F-+kN50kN205kN1211N11N14dFAFMPa8.176222N22N24dFAFMPa6.74233N3N334dFAFMPa5.110同理得故MPa8.176max可见，内力最大的截面，并不一定是最大工作应力所在截面。11223325[例题2]图示结构，试求AB、CB杆横截面上的应力。已知F=20kN；AB为φ＝20mm的圆截面杆，CB为15×15的方截面杆。:0yFkN3.28N1F解：1、计算各杆件的轴力。kN20N2F:0xFFABC45°0cos45N2N1FF0sin45N1FF12BFN1FN2Fxy45°解得262、计算各杆件的应力。1N11AF2N22AFkN3.28N1FkN20N2FFABC45°12BFN1FN2Fxy45°62310204π1028.390MPaPa109066231015102089MPaPa1089627[例题3]长为b、内径d=200mm、壁厚δ=5mm的薄壁圆环，承受p=2MPa的内压力作用，如图所示。试求圆环径向截面上的拉应力。bPPd28sin)2(0ddpbFR22pbdFFRNAFNMPa4010522.010236bPPdNFNFymndRFdnmdpbd0sin2pbd22pdbpbd解：29三、斜截面上的应力FFNcoscos0AFAFAFpNNcosAA(a)FF同样可说明杆斜截面上的应力也是均匀分布的。(b)FFNαp可将分解为和两个分量。p30正应力σ：拉为正，压为负。切应力τ：绕脱离体内任意点顺时针转向时为正。α的符号：由x轴逆时针转到外法线n时为正。符号规定：:0204520max45:45max00020coscosp2sin2sin0p090090:90(c)F讨论：31ablll1ll纵向绝对变形量:纵向线应变:§2－4拉（压）杆的变形·胡克定律一、纵向变形和线应变l1a1b当杆沿长度非均匀变形时xyCOAB△xzACB△x△δx1lFFdxdxxxxx0lim32E称为胡克定律EA称为杆的抗拉（压）刚度，其值反映杆抵抗拉(压)变形的能力。实验表明：在材料的线弹性范围内，△l与外力F和杆长l成正比，与横截面面积A成反比。AFll即EAlFlN引进比例常数E，并考虑到F=FN，得比例常数E称为弹性模量，其值表征材料抵抗弹性变形的能力胡克定律另一种形式33EAlFlN⑴在材料的线弹性范围内；当在长度l内，FN,E,A变化时，需分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。iiiiiAElFlN⑵在计算Δl的l长度内，FN,E,A均为常数。适用条件34横向绝对变形为：aaa1bbb1由试验可知：bbaa'即ν为材料的横向变形系数或泊松比'⑵应力不超过比例极限时：二、横向变形和线应变⑴二横向线应变相等，abl1a1b1lFF35[例1]一阶梯轴钢杆如图，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面积相同A2＝A3＝500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷载F1＝20kN，F2＝40kN，弹性模量E＝200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。解：(1)求各段轴力，作轴力图(2)求各段变形mm05.01020010200100102069311N11EAlFlmm02.01050010200100102069322N22EAlFlBC段AB段+-20kN20kNF1F2ADCB33221136(3)求全杆总变形mm05.002.002.005.0321llll（缩短）(4)求A和B截面的位移002.002.032llB05.0lAmm02.0mm05.021llmm02.01050010200100102069333N33EAlFlCD段+-20kN20kNF1F2ADCB3322113738[例2]如图所示柱形杆，长度为l,横截面积为A，材料的比重为γ，弹性模量为E。试求杆的总伸长。xdxl(a)γAxFN(x)(b)γAdxFN(x)FN(x)+dFN(x)(c)解:(1)计算杆的内力在距下端面x处截取下部分为研究对象，如图（b)所示。得任意截面内力为：FN(x)＝γAx(2)计算杆的变形EAxAxEAxxFxdd)(dNElxxEEAxAxlll2dd200因轴力非常量，需取一微段计算，如图（c）。并略去高阶微量39[例3]一薄壁圆环，平均直径为D，截面面积为A，弹性模量为E，在内侧承受均布载荷q作用，求圆环周长的增量。qD40解：2NqDFAESFSNAEDqD20dsin220NDqF:0yFNFNFqd41C′2变形图严格画法，图中弧线；1求各杆的变形量△li;3近似画法，切线代圆弧切线代圆弧法Δl1Δl2''CL2ABL1CP1l2l42[例4]如图所示一简易托架，BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢。若两杆的E=200GPa，设P=60kN。试求B点的位移。解：(1)以铰B为研究对象，计算杆的内力)(kN45436043N1拉力PF）压力(kN75456045N2PFFN1FN243(2)计算B点的位移由“切线代圆弧”法，B点的最终位置在B3,如图所示B2B1B5B4B3B1l2l11N111EAlFBBl22N222EAlFBBlm1051