高中数学解三角形知识点与历年各地高考真题汇总

无忧数学——解三角形（复习二）-1-解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即RCcBbAa2sinsinsin（其中R是三角形外接圆的半径）2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabcCC．2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin::；;sinsinBAba;sinsinCBcb;sinsinCAca3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin24）化角为边：;sinsinbaBA;sinsincbCB;sinsincaCA5）化角为边：RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，解法：由A+B+C=180o，求角A,由正弦定理;sinsinBAba;sinsinCBcb;sinsinCAca求出b与c②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BAbasinsin求出角B,由A+B+C=180o求出角C，再使用正弦定理CAcasinsin求出c边4.△ABC中，已知锐角A，边b，则①Abasin时，B无解；②Abasin或ba时，B有一个解；③baAbsin时，B有两个解。如：①已知32,2,60baA,求B(有一个解)②已知32,2,60abA,求B(有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二.三角形面积AbsinAb-2-1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin212.rcbaSABC)(21,其中r是三角形内切圆半径.3.))()((cpbpappSABC,其中)(21cbap,4.RabcSABC4,R为外接圆半径5.CBARSABCsinsinsin22,R为外接圆半径三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22222.变形：bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222注意整体代入，如：21cos222Bacbca3．利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角Aabc222③若，所以为钝角，则是钝角三角形3利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角-3-2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，；两边之差小于第三边：，，；3）在同一个三角形中大边对大角：BAbaBAsinsin4)三角形内的诱导公式：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tanCCCCCBA铅直线水平线视线视线仰角俯角-4-5)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.6)二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)22cos1cos;22cos1sin22(4)tan2α＝2tanα1－tan2α.7)三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点-5-解三角形高考真题及答案解析1.（15北京理科）在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．【答案】1【解析】试题分析：222sin22sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256考点：正弦定理、余弦定理2.（15北京文科）在C中，3a，6b，23，则．【答案】4【解析】试题分析：由正弦定理，得sinsinabAB，即36sin32B，所以2sin2B，所以4B.考点：正弦定理.3.（15年广东理科）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6Cπ，则b【答案】1．【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．4.（15年广东文科）设C的内角，，C的对边分别为a，b，c．若2a，23c，3cos2，且bc，则b（）A．3B．2C．22D．3【答案】B-6-【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cosabcbc，所以22232232232bb，即2680bb，解得：2b或4b，因为bc，所以2b，故选B．考点：余弦定理．5.(15年安徽理科)在ABC中，,6,324AABAC,点D在BC边上，ADBD，求AD的长。6.（15年安徽文科）在ABC中，6AB，75A，45B，则AC。【答案】2【解析】试题分析：由正弦定理可知：45sin)]4575(180sin[ACAB245sin60sin6ACAC考点：正弦定理.7.（15年福建理科）若锐角ABC的面积为103，且5,8ABAC，则BC等于________．【答案】7【解析】试题分析：由已知得ABC的面积为1sin20sin2ABACAA103，所以3sin2A，(0,)2A，所以3A．由余弦定理得2222cosBCABACABACA49，7BC．-7-考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．8.（15年福建文科）若ABC中，3AC，045A，075C，则BC_______．【答案】2【解析】试题分析：由题意得0018060BAC．由正弦定理得sinsinACBCBA，则sinsinACABCB，所以232232BC．考点：正弦定理．10.（15年新课标2理科）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。(Ⅰ)求CBsinsin;-8-(Ⅱ)若AD=1，DC=22求BD和AC的长.11.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC；（II）若60BAC,求B.【答案】（I）12；30.考点：解三角形12.(15年陕西理科)C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinn平行．（I）求；-9-（II）若7a，2b求C的面积．【答案】（I）3；（II）332．试题解析：（I）因为//mn，所以sin3cos0aBbA-=，由正弦定理，得sinAsinB3sinBcosA0-=又sin0，从而tan3A=，由于0A，所以3A(II)解法一：由余弦定理，得2222cosabcbcA=+-而7b2,a==3得2742cc=+-，即2230cc--=因为0c，所以3c=.故ABC的面积为133bcsinA22=.-10-考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.13.（15年陕西文科）ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，向量(,3)mab与(cos,sin)nAB平行.(I)求A；(II)若7,2ab求ABC的面积.【答案】(I)3A；(II)332.试题解析：(I)因为//mn，所以sin3cos0aBbA由正弦定理，得sinsin3sincos0ABBA，又sin0B，从而tan3A，由于0A所以3A(II)解法一：由余弦定理，得2222cosabcbcA，而7,2ab，3A，得2742cc，即2230cc-11-因为0c，所以3c，故ABC面积为133sin22bcA.解法二：由正弦定理，得72sinsin3B从而21sin7B又由ab知AB，所以27cos7B故sinsin()sin()3CABB321sincoscossin3314BB，所以ABC面积为133sin22abC.考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.14.（15年天津理科）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为315，12,cos,4bcA则a的值为.【答案】8【解析】试题分析：因为0A，所以215sin1cos4AA，又115sin315,2428ABCSbcAbcbc，解方程组224bcbc得6,4bc，由余弦定理得2222212cos64264644abcbcA，所以8a.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.-12-15．（15年天津文科）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为315,12,cos,4bcA（I）求a和sinC的值；（II）求cos26A的值.【答案】（I）a=8,15sin8C；（II）157316.【解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.