第八章 应力状态分析和强度理论

应力状态分析和强度理论第八章8.1应力状态概述8.3二向应力状态分析8.4二向应力状态的应力圆8.5三向应力状态简介8.6广义胡克定律8.9四种常用的强度理论第八章应力状态分析和强度理论8.1应力状态概述低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁问题的提出脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。QFMzNF横力弯曲直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。FFkkpFkk2coscospsincossinsin22p直杆拉伸{FlaSMFlTFaS平面zMzT4321yx1zzWMσtTW3zzWMσtTW123yxzxyzxyyxyzzyzxxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元体。321,,321（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态Fl/2l/2S平面S平面4zFlM2F5432112322310nF0tFyaaxydAαntxyxxyxyyxxy8.3二向应力状态分析0nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程0tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxyyaaxydAαntxyx利用三角函数公式)2cos1(21cos2)2cos1(21sin22sincossin2{并注意到化简得xyyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx目录7-3二向应力状态分析-解析法2.正负号规则正应力：拉为正；压为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。yaaxyαntxyxx目录7-3二向应力状态分析-解析法xyxyyxxy2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设α＝α0时，上式值为零，即02cos22sin)(00xyyx3.正应力极值和方向02τcos2ατsin2α2)σ(σ20α0xy0yx即α＝α0时，切应力为零目录7-3二向应力状态分析-解析法yxxy22tan0由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：22max4212xyyxyx22min4212xyyxyx主应力按代数值排序：σ1σ2σ3目录7-3二向应力状态分析-解析法试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。yxxy。30MPa，60xMPa,30xy,MPa40y已知目录7-3二向应力状态分析-解析法解：（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58yxxy目录7-3二向应力状态分析-解析法（2）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321yxxy目录7-3二向应力状态分析-解析法主平面的方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150yxxy代入表达式可知主应力方向：15.150主应力方向：35.1050目录7-3二向应力状态分析-解析法（3）主应力单元体：yxxy5.1513目录7-3二向应力状态分析-解析法7-3二向应力状态分析-解析法022xyxytg2max2min22xyxyxymax1min3xyxyxy13此现象称为纯剪切纯剪切应力状态045135或452sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-4二向应力状态分析-图解法目录xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx1.应力圆：目录7-4二向应力状态分析-图解法2.应力圆的画法D(x,xy)D/(y,yx)cxy2RxyyxR22)2(yyxxyADxyx目录7-4二向应力状态分析-图解法点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力3、几种对应关系D(x,xy)D/(y,yx)cxy2yyxxyxxyHn),(aaH2目录7-4二向应力状态分析-图解法定义231三个主应力都不为零的应力状态7-5三向应力状态目录由三向应力圆可以看出：231max结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。21332107-5三向应力状态目录1.基本变形时的胡克定律xxEExxyxyx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律G7-8广义胡克定律目录2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法23132111E12311()E2()E3()E7-8广义胡克定律目录=++23132111E13221E21331E7-8广义胡克定律目录)]([1zyxxEGxyxy3、广义胡克定律的一般形式)]([1xzyyE)]([1yxzzEGyzyzGzxzxxyzxyyxyzzyzxxz7-8广义胡克定律目录][max,maxAFN（拉压）][maxmaxWM（弯曲）（正应力强度条件）][*maxzzsbISF（弯曲）（扭转）][maxpWT（切应力强度条件）][max][max杆件基本变形下的强度条件7-11四种常用强度理论目录maxmax满足][max][max是否强度就没有问题了？目录7-11四种常用强度理论强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。目录7-11四种常用强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论目录7-11四种常用强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）01－构件危险点的最大拉应力1－极限拉应力，由单拉实验测得b00目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。b1断裂条件nb1强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转目录7-11四种常用强度理论2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。01－构件危险点的最大伸长线应变1－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0E/)]([3211Eb/0目录7-11四种常用强度理论实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件][)(321nb最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件EEb)]([1321b)(321即目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。0max3.最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力max－极限切应力，由单向拉伸实验测得02/0s2/)(31max目录7-11四种常用强度理论屈服条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转目录ss31n7-11四种常用强度理论实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。2最大切应力理论（第三强度理论）目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。0sfsfvv4.形状改变比能理论（第四强度理论）－构件危险点的形状改变比能sf－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0fs目录7-11四种常用强度理论屈服条件强度条件形状改变比能理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。目录7-11四种常用强度理论][11,r][)(3212,r强度理论的统一表达式：][r相当应力][313,r目录7-11四种常用强度理论7-11四种常用强度理论例题已知：和。试写出最大切应力准则和形状改变比能准则的表达式。解：首先确定主应力2211422322142220223134r2224122331221[()()()]23r{