数列求和知识点总结与测试

聚焦考向透析数列知识总结与方法归纳聚焦考向透析【知识梳理】1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋；(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．聚焦考向透析聚焦考向透析聚焦考向透析等比数列判断和识别等差数列和。等比数列等差数列（指数型函数）。等比数列的一次函数）等差数列的关系：与项和前数列A-AqS.4.AS.3.2n.()1(.1S},{nn2n11111nBnnrqqqaqaabkndadndnaaanannnnnnn列。如：等差数列，等比数用一个式子表达。可以将的表达式也符合当由如下关系与对于任意数列一般情况下nnnnnnannnSnSSaaa21,)1(,)2(:S},{,11n聚焦考向透析的周期性。最大值，最小值，数列概念，如数列的单调性关的相关知识研究与数列相正整数的子集。用函数数或变量（定义域）为正整数列是特殊的函数，自【数列的函数性质】的最小项。求的最小项。）求数列（数列}{,)2(}{1,1315S},{.12nnnnnnbnSbSnnS聚焦考向透析聚焦考向透析求解。构造等差或等比形式在【累乘】等比形式：【累加】等差形式：求通项方法：.3).(.2)(.111nfaanfaannnn聚焦考向透析.,111,1}){4(.2),11ln(}){3(.3,132,}){2(.112}{1)(.1111111111nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaanaaaaaaaanaaanfaa求满足满足，满足，满足，）（【累加】等差形式：求通项方法：聚焦考向透析取对数）且【累乘】等比形式：求通项方法：.10,3(.10,)2(.1,1},){1().(.2111151111aaaaaaannaaanfaannnnnnnnnnn聚焦考向透析.,12,32}{.111nnnnnaaaaaa求的首项数列构造数列求通项：.).1()1(,1}.{211nnnnannannaaa求满足.}{,22}{,...),2,1(2)1(,24SS},{.311nnnnnnnnnnnnnacacbnaabana为等差，并求求证：）设（为等比。求证，且项和为前聚焦考向透析的通项公式。）求为等差。（证明：的关系为与}{2}S1{)1(,2S,3},.{4n1n1nnnnnnaSSaaaa的通项公式。求数列，且项和为的前}{2,0S}{.5111nnnnnaSSaaana用一个式子表达。可以将的表达式也符合当一般情况下：nnnnannnSnSSa21,)1(,)2(11聚焦考向透析累加】【),(.1.23)2(.1,2)1(11111nfaaanaaaaannnnnn连续构造】【一类通项公式的求法-聚焦考向透析.2,23)3(11aaann【变式】2.232)4(11anaann聚焦考向透析1,232)6(1,23)5(1111aaaaaannnnnn【变式】聚焦考向透析6,532)8(.6233)7(1111aaaaaannnnnn，【变式】聚焦考向透析通项。求数列求数列式】【构造法求数列通项公}{,2,22},{.2..3132,2,1},{.111111221nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa聚焦考向透析232,1.,22,1}{.31111nnnnnnnnaaaaaaaaaa【变式】：求，数列聚焦考向透析nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaanaanaaaaaa532.)8(233.)7(232.)6(23.)5(.232.)4(23).3(.32).2(.3).1(11111111聚焦考向透析聚焦考向透析2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．聚焦考向透析4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．聚焦考向透析【基础自测】1．(教材改编)等比数列{an}的公比q＝12，a8＝1，则S8＝()A．254B．255C．256D．257答案：B聚焦考向透析2．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于()A.3n＋12B.3n＋32C.3n－12D.3n－32答案：C聚焦考向透析3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为()A．31B．120C．130D．185答案：C4．(教材改编)数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n项和Sn＝________.答案：2nn＋15．数列{(－1)n·n}的前2012项和S2012为________．答案：1006,聚焦考向透析◆求和思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．◆注意事项(1)裂项求和，把通项裂开后，注意检查是否恰好等于相应的两项之差．(2)裂项求和，注意总结正负抵消的规律．(3)错位相减求和，注意错位的项及相减后的结果．聚焦考向透析聚焦考向透析考向一公式法求和(2012·高考湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．聚焦考向透析【审题视点】用方程组法求a1和d，可求an借助等差数列求和公式求{|an|}的和．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，由题意得3a1＋3d＝－3，a1a1＋da1＋2d＝8，解得a1＝2，d＝－3或a1＝－4，d＝3.所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.聚焦考向透析(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝－3n＋7，n＝1，2，3n－7，n≥3.记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；聚焦考向透析当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋n－2[2＋3n－7]2＝32n2－112n＋10.当n＝2时，满足此式，综上，Sn＝4，n＝1，32n2－112n＋10，n＞1.聚焦考向透析【方法总结】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．聚焦考向透析1．已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．解：(1)由题意得2a5＝4a1－2a3.∵{an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.(2)∵a2，a4，a6，…，a2n，是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.聚焦考向透析考向二分组转化求和(2011·高考山东卷)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818聚焦考向透析(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.审题视点】观察出a1，a2，a3求an，化简bn转化数列．聚焦考向透析【解】(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln3＝2×1－32n1－3＋nln3＝32n＋nln3－1.聚焦考向透析【方法总结】(1)分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和．(2)常见类型及方法①an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；②an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；③an＝bn±cn或an＝bnn为奇数，cnn为偶数，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．聚焦考向透析2．(2013·包头模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋12.聚焦考向透析考向三裂项相消法求和(2013·金丽衢十二校第二次联考)已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，an，bn＋1成等比数列．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an，试比较Sn与1的大小．【审题视点】根据等比中项及等差数列求bn.用裂项法求Sn.聚焦考向透析【解】(1)∵对任意正整数n，都有bn，an，bn＋1成等比数列，且{an}，{bn}均为正项数列，∴an＝bnbn＋1.由a1＝3，a2＝6得a1＝b1b2＝3a2＝b2b3＝6，又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，解得b1＝2，b2＝322，∴数列{bn}是首项为2，公差为22的等差数列，∴数列{bn}的通项公式为bn＝2n＋12(n∈N*)．聚焦考向透析(2)由(1)得对任意n∈N*，an＝bnbn＋1＝n＋1n＋22.从而有1an＝2n＋1n＋2＝