数列的综合应用

1第十六节数列的综合应用[自我反馈]1．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a2n(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝()A．－1或2B．0或2C．2D．1解析：选C由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2n，解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)，又bn＋1bn－1＝b2n＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为()A．{4,5}B．{4,32}C．{4,5,32}D．{5,32}解析：选Can＋1＝an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时，注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32.3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝a3－a12＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.答案：－114．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：625．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．又数列{bn}为等比数列，设公比为q，∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n.所以Tn＝2n＋1－2－n.考向一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016·济南模拟)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)求数列{bn}的前n项和.【母题变式】31.若本例题条件“{bn-an}是等比数列”变为“{bn-an}是等差数列”,其他条件不变,求数列{bn}的通项公式.2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列”变为“an+2an-1=nb1”,求数列{bn}的通项公式.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则15923aaaaa=()A.2B.3C.5D.6【加固训练】1.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为()A.-2B.1C.-2或1D.2或-142.(2016·泰安模拟)已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)设cn=anan+1,求数列n1c的前n项和Tn.因为d0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).5考向二数列中的图表问题【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910……………按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.(2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4…a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………求数列{an,2}的通项公式.【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8,解得d=1,q=2.a1,2=2⇒an,2=2×2n-1=2n.【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出6图表或数阵中的项在原数列中的位置.(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列数为aij(i,j∈N*),则a43=______.1411243334816，，，　　　　　【加固训练】1.(2016·北京模拟)已知an=(13)n,把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9………………………记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()93929411211A.()B.()3311C.()D.()3372.(2016·合肥模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=______.【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+…+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得3.(2016·保定模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足n2nnn2bbSS=1(n≥2).(1)证明数列n1S成等差数列,并求数列{bn}的通项公式.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=491时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.8考向三数列的实际应用问题【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:9第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;…第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.10年后应还款总数为20000(1+10%)10.【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1+10%)-x=20000×1.1-x,第2次还款x元后欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:数列模型基本特征10(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列{bn},由题意可知,{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)×50400×1.08n-1×0.85.当n=5时,a50.85b5,当n=6时,a60.85b6,即满足上述不等式的最小正整数n为6.答:到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【加固训练】1.(2016·成都模拟)《张丘建算经》卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足an+1=1.2an-a11相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织______尺布.()181616A.B.C.D.21529312.某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨.(1)