§35 随机变量的数字特征、 契贝晓夫不等式

概率论中南大学数学院概率统计课程组§3.5随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式一、连续型随机变量的数学期望五、随机变量的方差六、随机变量的矩与切比雪夫不等式三、数学期望的性质四、几类重要的随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望研究随机变量的数字特征的必要性尽管随机变量的分布函数(概率分布、概率密度)完整地描述了随机变量的统计规律性。但是这种完整的描述并不使人感到方便，而且在一些实际问题中，也不需要去全面考察随机变量的分布，而只需知道随机变量分布的某些特征，因此并不需要求出它的分布函数(概率分布、概率密度)。1.在评定某一地区粮食产量时，在许多场合只需知道该地区的平均产量。2.在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数。3.在检查一批棉花的质量时，即需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都有重要的意义。本章将介绍连续型随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和矩。一、连续型随机变量的数学期望dxxxp)(dxxxp)(设连续型随机变量的概率密度为p(x)，若积分绝对收敛，则称积分值为的数学期望。记为期望也称为均值。的,)()(dxxxpE数学bxxxan110则ξ落在区间[xi,xi+1]中的概率为1)(]},[{1iixxiidxxpxxP很小时当iiixxx1iiixxpxxP)(]},[{1设连续型随机变量ξ的概率密度为p(x)，且p(x)只在[a,b]上不等于0。取分点ix0x1xnxip00)(xxp11)(xxpnnxxp)(这时概率分布可视为ξ的离散近似，服从上述分布的离散型随机变量的数学期望为niiixxpx0)(时当0ixniiixxfx0)(badxxxf)(niiixxfx0)(dxxxf)((1)连续型随机变量数学期望的定义dxxxp)(dxxxp)(设连续型随机变量的概率密度为p(x)，若积分绝对收敛，则称积分值为的数学期望。记为期望也称为均值。的,)()(dxxxpE数学(2)数学期望的计算已知随机变量ξ的密度函数为例19211()101xfxxx解1121110010xdxxdxxdxxE求dxxxpE)()(试验次数较大时，ξ的观测值的算术平均值在E(ξ)附近摆动x数学期望又可以称为期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(ξ)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是ξ的可能值以其相应概率的加权平均。(3)数学期望的意义)(E二、随机变量的函数的数学期望定理1：一维情形离散型连续型是随机变量ξ的函数,设)(g,2,1,)(kpxPkk1)())(()(kkkpxggEE概率密度为)(xpdxxpxggEE)()())(()(因为所以解服从2,0已知上的均匀分布，求的数学期望。例20sindxxpxEE)(sin)(sin)(其它20021)(xxp0sin21)(sin20dxxE定理2：二维情形离散型连续型联合概率密度为设是随机变量ξ，η的函数,),(gZ,2,1,,),(jipyxpijjiijijjipyxggE),(),((),(yxfdxdyyxfyxggE),(),(),((例21设相互独立的随机变量ξ，η的密度函数分别为:12,(01)()0,xxfx其它(5)2,(5)()0,yeyfy其它求E（ξη）解12()()xyfxfydxdy1(5)052ydxxyxedy12(5)052yxdxyedy4dxdyyxfxyE),()(三、数学期望的性质相互独立时.当随机变量.()ECCC为常数..)()(CECE)()()(EEE,)()()(EEE(1)均匀分布(2)正态分布(3)指数分布四、几类重要的随机变量的数学期望(1)均匀分布概率密度数学期望其它bxaabxp01)(2)(badxabxEbaX~N(μ，σ2)(2)正态分布数学期望：221()2ttedtxtdxexEx222)(2)((3)指数分布概率密度数学期望0001||xxxxeedxe1其它00)(xexpxdxxedxxxpEx0)()(休息片刻继续