§3空间向量基本定理(1)

空间向量基本定理温故夯基1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1,λ2,使________________成立，不共线的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组______．2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量__________．不共线基底正交分解a＝λ1e1＋λ2e2知新益能1．空间向量基本定理如果三个向量a、b、c________，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x，y，z},使得p＝__________,其中{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做________．不共面基底基向量xa＋yb＋zc2．空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底三个有公共起点O的__________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．空间直角坐标系以e1，e2，e3的___________为原点，分别以__________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.两两垂直公共起点Oe1，e2，e3空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它_____，使它的_____与原点O重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________.把_________称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________.平移起点x，y，zp＝(x，y，z)xe1＋ye2＋ze31．空间的基底是惟一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一．2．空间向量基本定理中，当z＝0时，是什么定理？当y＝z＝0时，是什么定理？提示：平面向量基本定理；共线定理．问题探究基底的判断考点突破判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．例1若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b,b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．【思路点拨】假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．【解】假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．∴1＝μ1＝λ0＝λ＋μ.此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．互动探究若本例条件不变，试判断向量a＋b，a－b，c能否作为空间的一个基底．解：假设a＋b，a－b，c共面，则存在实数x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，即c＝(x＋y)a＋(x－y)b，从而由共面向量知c与a，b共面，这与a，b，c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面，即可以作为空间的一个基底．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：(1)观察图形：充分观察图形特征；(2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(3)进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；(4)确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．例2如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN→的坐标．【思路点拨】PA⊥正方形ABCD所在平面→AP→、AB→、AD→两两垂直→以AB→、AD→、AP→为单位正交基底建立空间直角坐标系→用AB→、AD→、AP→表示向量MN→→结论【解】∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB→、AD→、AP→是两两垂直的单位向量．设AB→＝e1，AD→＝e2，AP→＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A­xyz.∵MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝－12AB→＋AP→＋12PC→＝－12AB→＋AP→＋12(PA→＋AC→)＝－12AB→＋AP→＋12(PA→＋AB→＋AD→)＝12AD→＋12AP→＝12e2＋12e3，∴MN→＝(0，12，12)．用基底表示向量用基底表示向量时，(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．如图所示，空间四边形OABC中，D为BC的中点，G是△ABC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.试用向量a，b，c表示向量OG→.【思路点拨】{a，b，c}是一个基底，再利用三角形重心的性质，可求．例3【解】∵OG→＝OA→＋AG→，而AG→＝23AD→，AD→＝OD→－OA→，又OD→＝12(OB→＋OC→)，∴OG→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)＝OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23OA→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．•1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()•A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2a•C．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c解析：不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝32(2a)z＋(－2)(a－b)，三个向量共面；B中，b＋2a＝32(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面，只有C中的三个向量不共面．•答案：C2．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示向量MN→为()A.12a＋12b＋12cB.12a－12b＋12cC．－12a＋12b＋12cD．－12a＋12b－12c•答案：C解析：如右图所示，连结ON，AN，则ON→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，AN→＝12(AC→＋AB→)＝12(OC→－2OA→＋OB→)＝12(－2a＋b＋c)＝－a＋12b＋12c，所以MN→＝12(ON→＋AN→)＝－12a＋12b＋12c.3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则A1C→的坐标为________，CD1→的坐标为________．解析：A1(0,0,1)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)A1C→＝(1,1，－1)，CD1→(－1,0,1)•答案：(1,1，－1)(－1,0,1)方法感悟1．对于基底{a，b，c}，除了应知道a、b、c不共面外，还应明确以下三点：(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)基底中的三个向量a、b、c都不是0，这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念．2．空间向量基本定理说明：用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．