§4-1不定积分的概念与性质§4-2换元积分法

第四章不定积分§4-1不定积分的概念与性质在第三章我们研究了已知f，如何求f的导数f的表达式，得到了一些计算法则，例如：(f+g)=f+g,(fg)=fg+fg,(f[])=f[]这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若f为初等函数，f的表达式能求出.我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。问题：在已知f的表达式时，f的表达式是什么形式呢？即是，已知函数f的表达式，求f的原函数是什么。.•基本积分表•换元积分法•分部积分法•有理函数积分本章主要内容：注2.符号差别：与baxxfd)(xxfd)(一、原函数与不定积分的概念1.定义：设I为某区间，称f(x)在I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，记作dxxf)(xxfd)(积分号被积函数积分变量注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数的微分。数一族函数(3)定理1.设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则CxFxxf)(d)((4)其中C为任意常数0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4例1：xxd2解：容易看到2x'x3)(3两边除以3，得23)(31x'x求导数的性质的一个原函数。为得2331xx),())((x'af'xafCxxx3231dyy=x2xy331xyx因此,2.不定积分的性质：1)2)3)4)xxgxxfxxgxfd)(d)(d))()((为常数,d)(d)(xxfxxf)(d)(ddxfxxfxCxfxx'f)(d)(3.基本积分公式积分公式导数公式123kckx)'(x'x)1()(101)(lnxx'x01))(ln(xx'x)(d为常数kCkxxk)1(11d1CxxxCxxx||lnd11)2)3)5)6)7)5671,0ln1daaCaaxaxxCxxxsindcosCxxxcosdsin1,0ln)(aaaa'axxx'xcos)(sinx'xsin)(cos4xxe'e)(Cexexxd4)10)11)10119)9Cxxxctgdcsc2x'x2csc)(ctgCxxxarcsin1d2Cxxxarctg1d2211)(arcsinx'x211)arctg(x'x8)8Cxxxtgdsec2x'x2sec)tg(4.积分公式的简单应用例1.求xxxxxd)2(322解:xxxxxd)2(322xxxxxxd2dd3252Cxxx227317231例2.求xxxxxd)1(122解:xxxxd1d2Cxx||lnarctanxxxxxd)1(122例3.求解:xxdtan2xxd)1(sec2Cxxtanxxdtan2xxxddsec2例4.求其中,d)(xxff(x)=x2+1,x0.1,1xx10,1x解:作函数，待定和原函数内分别有和在),(ln,3],1[]1,0[),0,()(21213CCCxCxxxxfF(x)=0,33xxx1ln2xCx101xCx而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足条件的函数为F(x)=0,33xxx.11lnxx10,xx故CxFxxf)(d)(§4-2换元积分法1.第一换元法在求导法则中,对于复合函数,有一个求导的链式法则)())(()])([(x'x'f'xf(1)对不定积分来说有类似的法则吗？我们如何利用(1)式中的链式法则，从右端的函数f[(x)](x)求出左端的原函数f[(x)],就是现在要研究的问题。解决问题的关键在哪里呢？再看(1)式的特点)(')]([))])([(xxfxf外部函数的导数中间变量u中间变量u的导数复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积外部函数的导数中间变量的导数。如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的答案就出来了。例1.求xxxdcos332解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：cosx33x2sinu的导数中间变量u中间变量u的导数因此猜测sinx3是一个原函数，求导数验证2333cos)'(sinxxx所以Cxxxx332sindcos3使用这种方法的基本想法从被积函数中找到一个作中间变量的函数，其导数是作为一个因子出现的。这个想法在相差一个常数因子时也可以用。使用这种方法要求想象出复合函数的形式。例2.xxexd2求解:就是所求的原函数：猜测2xe指数函数求导后形式不变；有中间变量u=x2,u=2x中含有一个因子x,,2)'(22xxxee(2)验证与最初想象的结果差一个常数因子2，22)'(21xxxee22)'21(xxxeeCexxexx2221d显然有因此没问题，将(2)式右端的因子除到左端例3.xxexd12求解：观察12xxe中间变量u=x2+1但u=x2+1的导数为u=2x在被积函数中添加2个因子12221xex'uu因此Cexxexx112221d换元法);()(.1uFIuf有原函数在区间IJJxxu)(,),(.2CxFdxxxf)]([)('))('(则xxxfd)('))((uufd)(u=(x)xudd例4.xxxd543求解:xxxd534Cu12112114154xuudu4121Cx234)5(61uuduxxxd454134重算一遍)5(d415d54443xxxxxCx1214)5(121141Cx234)5(61例5.)0(d22axax求解：能想出原函数的形式吗？Cxxxarcsin1d2记得这个公式吗？如何用这个公式？22)(1d)(1daxaxaxaxCaxarcsin例6.求sin2xdx解：xxxxd22cos1dsin2xxxd2cos21d21)2(d2cos4121xxxCxx2sin4121例7.解：xxxd3cos2sin求xxxx)sin(21)sin(21cossinxxxx)cos(21)cos(21sinsinxxxxxxd)sin215sin21(d3cos2sin2cos21)5(d5sin5121Cxxx21cos215cos101CxCxCxx5cos101cos21例8.解：22dxax求xxaxaad)11(2122dxaxxaxaxaxaa)(d)(d21Cxaxaa||ln||ln21Cxaxaaln21例9.解：xxdsec求xxxxcosddsecxxxdcoscos2)8(|sin1sin1|ln21由例Cxxxx2sin1)(sindCxx2cossin1ln21Cxx|tansec|ln2.第二换元法以上的例子中运气很好，被积函数g(x)有形式),)]([)(x('xfxg至多差一个常数因子，接下来研究运气稍差一点例子，仍然可经过一适当换元，求出原函数。例10.xxxd23)7(3求解：取中间变量u=3–2x,注意到du=–2dx,因子(x+7)dx不是变量u的微分,不能使用第一换元法。现在将积分号下的每一部分变为换为u的函数，包括因子x+7.因此,223ux72237ux,2217uu=3–2x,得得代入原积分因此　又,.d21d,d2duxxuuuuxxxd)2217(d23)7(33uuud)17(413uuud)17(413431Cuu)1341131117(41134131Cuu)73451(413734Cxx))23(73)23(451(413734解法要点：3323223取1uxux.　换成了能积分的部分　复杂的代入后将被积函数中最uxud21d.2　包括的函数，表示成将被积函数中每一部分3.求出关于u的积分，取反函数u=3-2x代回原变量x.定理3.条件:1of(x)在区间I上连续；2ox=(t)在区间J上单调,可导,且(t)0;3o设f((t))(t)在J上有原函数F(t).结论：在I上有,))((d)(1CxFxxf)(txttxd)('dd)(xxftttfd)(')]([例11.)0(d22axxa　　求),,(aa函数的定义域)2,2(,sinttax令　　0)'(sin2tta-at22••sint解：taaxa22222sintata22cossin1tacostdtaxcosdcost22tttataxxadcoscosd22ttadcos22Ctata2sin4222ttad22cos12则取反函数,arcsinaxt,sinaxt2221sin1cosaxttCttaaxaxxacossin24arcsin2d2222Cxaxaxa2222arcsin2例12.)0(d22aaxx　　求tataaxttaxsectg1),2,2(,tg222令ttaxdsecd2tattaaxxsecdsecd222ttdsecCtt|tgsec|ln解：axtaxttg,arctg2222221tg1secaaxaxttCaaxxaxx||lnd2222Caxaxln||ln22Caxx||ln22例13.22daxx求)2,0(,secttaxtttaxdtgsecdtaaaxtg1sec222ttaxxdsecd22Ctt|tgsec|lnCaxx||ln22.22化简注：三角函数代换用于ax10t2解：例14.1d24xxx求解：困难：分母中多出一个x4因子(指数4不是主要问题).想法：将分母中的因子转移分子中.方法：作变换tx1有两支这时曲线tx1一段。上单调，首先讨论在),0(),0()0,(252424211111,ddttttxxttxtttxxxd11d2324tttttd1)1(22221dd1tttttt22221)1(d21)1(d121ttttCtt22321)1(31Ctt221)2(31Cxxx2321312完全相同的结果。可获得形式上时，作同样变换当txx1)0,(