§4.4.2二阶常系数线性微分方程_东南大学高等数学

（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法设二阶常系数线性齐次方程为0cyybya①二阶常系数线性非齐次方程为)x(fcyybya②若y是方程②的一个特解，Y是方程①的通解，则yYy是方程②的通解。求方程②的通解关键在于求其一个特解。下面介绍当自由项)x(f为两种特殊类型函数时方程②特解的求法—待定系数法。1．xme)x(P)x(fa（其中)x(pm是x的m次多项式）可以设xe)x(Qya（其中)x(Q是多项式）。将xe)x(Qya，)]x(Q)x(Q[eyxaa，)]x(Q)x(Q2)x(Q[ey2xaaa，代入③后并约去xea，得：)x(P)x(Q)cba()x(Q)ba2()x(Qam2aaa④这时方程②为cyybyaxme)x(Pa③)x(P)x(Q)cba()x(Q)ba2()x(Qam2aaa④（1）当0cba2aa，即a不是方程①的特征根时，∵)x(pm是一个m次多项式，要使方程④的两端恒等，则)x(Q必定是另一个m次多项式)x(Qm，∴设m1m1m1mmAxAxAxA)x(Q。把)x(Qm代入（4）式，比较等式两端同x次幂的系数，就得到以m1m1A,A,,A,A作为未知数的个1m方程的联立方程组，从而可以定出这些)m,,1,0i(Ai，得到所求特解xme)x(Qya。)x(P)x(Q)cba()x(Q)ba2()x(Qam2aaa④)x(P)x(Q)ba2()x(Qama（2）当0cba2aa，而0ba2a时，即a是方程①的单特征根时，④式成为)x(Q应为m次多项式，)x(Q应为1m次多项式，故可设)x(xQ)x(Qm，并用同样的方法来确定)x(Qm中的系数)m,,1,0i(Ai。故可设)x(Qx)x(Qm2，（3）当0cba2aa且0ba2a时，即a是方程的二重特征根时，④式成为)x(P)x(Qam)x(Q应为m次多项式，)x(Q应为2m次多项式。并用同样的方法来确定)x(Qm中的系数。)x(P)x(Q)cba()x(Q)ba2()x(Qam2aaa④综上所述，方程xme)x(Pqyypya具有如下形式的特解：xmke)x(Qxya。其中)x(Qm是与)x(Pm同次但系数待定的多项式，ka按不是特征方程的根、是单根或二重根依次取0，1或2。2．]xsin)x(Pxc)x(P[e)x(fnmxbbaos应用欧拉公式，2eexcosixixi2eexsinixix把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有]xsinPxcosP[e)x(fnmxbba]i2eeP2eeP[exixinxiximxbbbbax)i(nmx)i(nme)i2P2P(e)i2P2P(babax)i(x)i(e)x(Pe)x(Pbaba,e)x(Pe)x(P)x(fx)i(x)i(baba其中i2P2Pi2P2P)x(Pnmnm，i2P2Pi2P2P)x(Pnmnm，是互成共轭的次L多项式,而}n,mmax{L。对于)x(f中的第一项x)i(e)x(Pba，可求出一个次L多项式)x(QL，使得x)i(Lk1eQxyba为方程x)i(e)x(Pcyybyaba的特解，k而按bai不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。由于)x(f中的第二项x)i(e)x(Pba与第一项成共轭，所以与成1y共轭的函数x)i(Lk2eQxyba必然是方程x)i(e)x(Pcyybyaba的特解，这里表示与LQ成LQ共轭的次多项式L。故方程]xsin)x(Pxcos)x(P[ecyybyanmxbba具有如下形式的特解：.eQxeQxyyyx)i(Lkx)i(Lk21babax)i(Lkx)i(LkeQxeQxybaba)]xsinix(cosQ)xsinix(cosQ[exLLxkbbbba由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数形式：)xsin)x(Rxcos)x(R(exy)2(L)1(Lxkbba综上所述，有如下结论：综上所述，有如下结论：方程]xsin)x(Pxcos)x(P[ecyybyanmxbba具有形如的特解，)xsin)x(Rxcos)x(R(exy)2(L)1(Lxkbba其中)x(R)1(L，)x(R)2(L是L次多项式，}n,mmax{L，而按kbai不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。二阶常系数非齐次线性方程特解解法)x(fcyybya自由项)x(f非齐次方程特解y①a不是特征方程的根xme)x(Qya②a是特征方程的单根xme)x(Qxya)x(pemxa③a是特征方程的重根xm2e)x(Qxya①bai不是特征方程的根]xsin)x(Rxcos)x(Q[eyLLxbba]xsin)x(Pxcos)x(P[e)x(fnmxbba②bai是特征方程的单根]xsin)x(Rxcos)x(Q[xeyLLxbba其中}n,mmax{L。例1．求方程3x2y6y5y的特解。解：x0e)3x2(3x2)x(f，属xme)x(P)x(fa型（0,1ma），特征方程为06r5r2，2r1，3r2，∵0a不是特征根，∴设特解为1x01AxAe)x(Qy，将y，A)y(，0)y(，代入原方程后得3x2)A5A6(xA61，有.97A31A3A5A62A611故原方程的特解为97x31y。例2．求方程x2ey4y的通解。解：∵特征方程为04r2，2r,2r21，∴对应齐次方程的通解为x22x21eCeCY。∵x2e)x(f，属xme)x(P)x(fa型（2,0ma），而2a是特征根，∴设x2Axey，代入原方程解得41A，故原方程的通解为x2x22x21xe41eCeCyYy。解：∵特征方程为01r2r2，1r2,1。∴对应的齐次方程的通解为)xCC(eY21x。∵xxe)x(f，属xme)x(P)x(fa型（1,1ma），而1a是特征方程的重根，∴设x12e)AxA(xy，x213x12e)xAxA(e)xA2xA3()y(，例3．求方程xxeyy2y的通解。代入原方程，有xx1xee)A2xA6(，解之得61A，0A1。∴x3ex61y，故原方程的通解为)xCC(ey21x+x3ex61。x213x12x1e)xAxA(e)xA4xA6(e)A2xA6()y(，例4．求方程x2coseyy3yx的一个特解。解：先写出特征方程：01r3r2，且i21iba不是特征方程的根，∴设特解)x2sinDx2cosC(eyx，则有]x2sin)C2D(x2cos)D2C[(e)y(x，]x2sin)D3C4(x2cos)C3D4[(e)y(x，∵)x(fx2cosex，属于]xsin)x(Pxcos)x(P[enmxbba型的函数，故所求特解)x2sin10110x2cos1011(eyx。0C10D1CD1010110D1011C，代入原方程有x2cosx2sin)C10D(x2cos)CD10(，比较两端x2sinx2cos与的系数，得例5．求方程xsinyy的通解。解：先写出特征方程：01r2，ir。∴对应齐次方程的通解为xsinCxcosCY21。∴设特解)xsinDxcosC(xy，则有)xsinCxcosD(xxsinDxcosC)y(，)xsinDxcosC(xxsinC2xcosD2)y(，∵自由项)x(fxsin属于]xsin)x(Pxcos)x(P[enmxbba型的函数，且i0iba是特征方程的根，比较两端xcosxsin与的系数，得21C，0D。∴原方程的特解为xcosx21y，故原方程的通解为xcosx21yxsinCxcosC21。代入原方程有xsinxcosD2xsinC2，例6．求方程xsin1xy4y的通解。解：其特征方程为04r2，i2r，原方程所对应的齐次方程的通解为x2sinCx2cosCY21。自由项xsin)1x()x(f)x(f)x(f21，令方程①为：1xy4y，方程②为：xsiny4y，分别求方程①与②的特解1y与2y。设BAxy1，A)y(1，0)y(1，代入原方程得：41BA，∴41x41y1。xcosDxsinC)y(，xsinDxcosC)y(，代入原方程得xsinxsinD3xcosC3，0C，31D，∴xsin31y2，从而原方程的特解为xsin3141x41y，故原方程的通解为xsin3141x41Yyyx2sinCx2cosC21。设xsinDxcosCy2，解：x0x0x2f(t)dttf(t)dtxe)x(f，①)x(xf)x(xff(t)dte2)x(fx0x2，即x0x2f(t)dte2)x(f，②)x(fe4)x(fx2。由①和②知1)0(f，2)0(f，例7．设)x(f为连续函数，且满足方程x0x2t)f(t)dt(xe)x(f，求)x(f。故所求函数)x(fy满足下列初值问题：.2y,1y0x0x④与方程③对应的齐次方程的通解为xsinCxcosCY21。设方程③的一个特解为x2Aey，代入③得54A，故方程③的通解为x221e54xsinCxcosCy。由初值条件1y0x，得51C1；由初值条件2y0x，得52C2，从而所求函数x2e54xsin52xcos51)x(f。,e4yyx2③（四）常数变易法解一阶线性非齐次方程)x(Qy)x(Py时，我们用了常数变易法，将对应的线性齐次方程0y)x(Py的通解dx)x(PCey中的任意常数C变易为待定函数)x(C，再通过确定)x(C来求得线性非齐次方程通解。这种方法也适用于高阶线性微分方程。下面就二阶线性方程来作讨论。设非齐次方程为)x(fcyybya①齐次方程为0cyybya　　　　②)x(y),x(y21为方程②的两个线性无关的解，则方程②的通解为)x(yC)x(yCy2211，将任意常数21C,C换成待定函数)x(C),x(C21，使对③式求导，得)x(y)x(C)x(y)x(C)x(y)x(C)x(y)x(Cy22112211为方程①的解。③)x(y)x(C)x(y)x(Cy2211)x(y)x(C)x(y)x(C)x(y)x(C)x(y)x(Cy22112211由于两个待定函数)x(C),x(C21只需满足一个关系式①，所以可规定它们再满足一个关系式。为了使y的表示式中不出现)x(C)x(C21和的二阶导数，可设0)x(y)x(C)x(y)x(C2211，④从而)x(y)x(C)x(y)x(Cy2211，)