§4.7正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的解读

§4.7正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解基础知识自主学习两边和夹角(如a,b,C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角.在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A+B+C=180°,求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角（如a,b,A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角（如图①）.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.正北基础自测1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°，则∠BAC等于（）A.10°B.50°C.120°D.130°解析由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,∴∠BAC=60°+70°=130°.D2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°.B3.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）A.B.C.D.解析由余弦定理可得：132233232333.323233sin,23sin.21432)13(342cos222222AABhACAABACBCABACA边上的高则B4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积则a的值为（）A.20B.25C.55D.49解析由S=bcsinA=220,得c=55.由余弦定理得a2=162+552-2×16×55×cos60°=2401,∴a=49.,3220S213D65.(2009·湖南文,14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.解析AACcos,sinsin:BACABC由正弦定理.32,cos2,23cos22,46,230,220,20,3,3,.22cos,cossin22sinsinACAACAAAAAACCACBABCAACAAACAACABC又2)3,2(题型一与距离有关的问题要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.【例1】3思维启迪题型分类深度剖析解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得.22660sin75sin3BC.km5(km).5,5332375cos22632)226()3(222之间的距离为A、ABAB3B求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.探究提高知能迁移1（2009·海南,宁夏理，17）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.解方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).②第一步：计算AM.由正弦定理第二步：计算AN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理;)sin(sin212dAM;)sin(sin122dAN)cos(21122ANAMANAMMN方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2;A、B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理第二步：计算BN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理;)sin(sin211dBM;)sin(sin121dBN.)cos(22222BNBMBNBMMN题型二与高度有关的问题某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.依题意画图，某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进，CD=40米，此时∠DBF=45°,从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB=AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD（或BC）.【例2】思维启迪,BEAB解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB=30°，在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中，BE=DBsin15°在Rt△ABE中，∠AEB=30°，∴AB=BEtan30°=故所求的塔高为,sinsin,BCDBDDBCCD得由正弦定理.220135sin30sin40BD).13(10426220).)(33(310米.)33(310米解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.探究提高知能迁移2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD=π-α-β.)sin(sintantan,Rt)sin(sinsinsin,sinsinsACBBCABABCsCBDBDCCDBCCBDCDBDCBC中在所以由正弦定理得题型三正、余弦定理在平面几何中的综合应用(12分)如图所示,在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°,∠ADB=45°，求BD的长.由于AB=5，∠ADB=45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解,关键是确定∠BAD的正弦值.在△ABC中,AB=5,AC=9，∠ACB=30°,因此可用正弦定理求出sin∠ABC,再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可.【例3】思维启迪解在△ABC中，AB=5，AC=9，∠BCA=30°.∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠ABC,于是sin∠BAD=sin∠ABC=.8分同理，在△ABD中，AB=5，sin∠BAD=，∠ADB=45°，解得BD=.故BD的长为.要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理..109530sin9sinsin,sinsin,ABBCAACABCABCACBCAAB得由正弦定理1096分109229229探究提高12分.sinsin:BADBDBDAAB由正弦定理知能迁移3如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解设∠POB=θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=5-4cosθ..4352.4352,65,23.435)3sin(2)cos45(43sin2121max面积的最大值为所以四边形时即当OPDCySSyPCDOPC方法与技巧1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法感悟提高失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角.2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.3.坡度——坡面与水平面的二面角的度数.4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角.一、选择题1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为（）解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，则BD=AD·tan∠BAD=m3200.Dm33200.Cm33400.Bm3400.A.332003320033200,320030tan.34003200200BDCDBCA定时检测2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析如图所示，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在Rt△ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是（海里/小时）.105.05C333.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A.akmB.akmC.akmD.2akm解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×32.3,3)21(2aABaB4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）A.海里/小时B.海里/小时C.海里/小时D.海里/小时26176342217234解析如图所示，在△PMN中，,120sin45sinMNPM)./(26174,6342368小时海里MNvMN答案A5.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为（）A.20海里/小时B.20海里/小时C.