浙大流体力学 第3章 流体运动学

第三章流体运动学3.1流体运动的描述3.1.1拉格朗日法追踪每一个质点的运动，计算机的使用给其带来方便3.1.2欧拉法以空间场为。适用理论研究,,,,,,,,,xxyyzzuuxyztuuxyztuuxyzt,,,,,,,,,,,uuxyztppxyztxyzt3.1.3欧拉法表示的流体质点的加速度、质点导数,,,uuxyztxyzduuuxuyuzadttxtytztuuuuuuutxyzxxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz(),(),()xxtyytzzt当地加速度（或时变加速度）：迁移加速度（或位变加速度）：ut()uu3.2欧拉法的基本概念1、恒定流和非恒定流2、一元、二元和三元流动3、均匀流和非均匀流0At(,,)(,,)(,,)uuxyzppxyzxyz0uu例：已知速度场。试问：（1）t=2s时，在（2,4）点的加速度是多少？（2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动是均匀流还是非均匀流？解：以代入，得：4669uyxtiyxtj224646669446166xxxxxyuuuauutxyyxyxttyxttyxtt2,2,4tsxy24/xams22226/7.21/yxyamsaaams速度场随时间而变化，为非恒定流位变导数为零，为均匀流(,,)(46)(,,)(69)xxyyuuxytyxtuuxytyxt(46)(69)0yxuuuijyxiyxjttt0yyxxxyxyuuuuuuuuiuujxyxz3.2.2流线1、流线流线性质2、流线方程cos(,),cos(,),cos(,)yxzuuuVxVyVzVVVcos(,),cos(,),cos(,)dxdydzxyzdsdsds,,yxzuuudxdydzVdsVdsVdsxyzdxdydzuuu3、迹线方程迹线运动方程：迹线的微分方程：恒定流的流线方程和迹线方程相同xyzdxudtdyudtdzudtxyzdxdydzdtuuu例：已知速度场。试求（1）流线方程及时的流线图；（2）迹线方程及t＝0时过（0，0）点的迹线。解（1）为三组不同斜率的直线,,0xyzuaubtu0,1,2tttdxdyabtaybtxCbtyxCa（2）迹线方程积分得：dxdydtabt,dxadtdybtdt1222xatCtybC0,0,0txy120,0CC222byxa例：已知速度场，式中，a为常数。试求：（1）流线方程；（2）迹线方程。解：流线的微分方程：，积分得：迹线的微分方程：积分得：,,0xyzuaxuayu0ydxdyaxaylnlnln,xyCxyCdxdydtaxay12,atatxCexyCyCe3.2.3流管、过流断面、元流和总流流管面上各点流线所组成的管流束流管中充满液体为流束过流断面与流束每一点的流线垂直的面元流过流断面无限小的流束总流由元流组成的3.2.4流量断面平均流速1、流量体积流量：质量流量：2、断面平均流速3/AQudAms/AQudAkgs,AQQudAvAvA例：已知半径为ro的圆管中，过流断面上的流速分布为：式中是轴线上断面的最大流速，y为距管壁的距离。试求：（1）通过的流量和断面平均流速；（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。1/7maxoyuurmaxu解：取环形微元面积，面上各点的流速u相同流量：断面平均流速：1/70max1/72maxmax1/70224960oooooArroooyQudAurydryruryydyrur2oodArydrymax4960QvuA（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。1/7maxmax74960490.242600.242oooyuuryryr3.3连续性方程控制体流场中某个确定的空间领域控制面控制体的边界连续性微分方程的推导dt时间内X方向的净流出质量为：y，z方向的为：xxxxxuMudxdydzdtudydzdtxudxdydzdtxyyzzuMdxdydzdtyuMdxdydzdtzdt时间控制体的总净流出质量：化简：对不可压缩流体，密度ρ是常数，因此：控制体体积不变，流出质量造成密度减小yxzxyzuuuMMMdxdydzdtxyzyxzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt0yxzuuuxyz0yxzuuutxyz例：已知速度场：试问流动是否满足连续性条件。解：22211212xyzuyxuxyutzt0yxzuuutxyz解：得：22222222xyzttuyxxxxuxyxyyutztzz0yxzuuutxyz例：已知速度场，其中c为常数。试求坐标z方向的速度矢量。解：不可压缩流体连续方程求得：那么：积分得：222,xyucxyzuyzcxyz222xyucxyzxuyzcxyzy0yxzuuuxyz2yxzuuuyzzxy2zuyzC3.3.2连续性微分方程对总流的积分对控制体进行积分：可得：0yxzuuutxyz0ndVudAt12120AAudAudA1212121122AAudAudAQQvAvA例：变直径水管，已知粗管管径，断面平均流速，细管直径，试求细管管段的断面平均流速。解：1200dmm10.8/vms2100dmm1122211211223.2/vAvAAdvvvmsAd例：输水管道经三通管，已知管径，断面平均流速，试求断面平均流速。解：123200,100ddmmdmm123/,2/vmsvms3v1231122332131234/QQQvAvAvAdvvvmsd3.4流体微团运动分析3.4.1微团运动的分解O’点：速度：M点：(,,)Oxyz(,,)uuxyz(,,)MxxyyzzxxxMxxyyyMyyzzzMzzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyz作恒等变换，得：其中：MxxxxxyxzyzMyyyyyzyxzxMzzzzzxzyxyuuxyzzyuuyzxxzuuzxyyx112211221122yyxzzxxyzzyxyxxzzyyzxxzyyyxxzzzxyyxzuuuuuxyzyzuuuuuyzxzxuuuuuxxyxy3.4.2微团运动的组成分析1、平移速度2、线变形速度,,xyzuuu,,xxyyzzxxxuxxxxxuuuxdtudtxdtxx,yzyyzzuuyz3、角变形速度OA轴发生偏转，偏转角：OB轴发生偏转，偏转角：,,xyyzzx12yxxyuuxyyyuxdtuAAxdtxxxxxuydtuBBydtyyy微团在xOy平面上的角变形用来衡量：微团在xoy平面上的角变形速度：同理：121122yxxyuudtdtxy11,22yxzzyzzxuuuuyzzx12yxxyuuxy4、旋转角速度顺时针方向为负，逆时针方向为正。即：1212yxzuudtdtxy12yxzuuxy11,22yxzzxyuuuuyzzx3.4.3有旋流动和无旋流动102102102yyzzxxxzzyyyxxzuuuuyzyzuuuuzzzxuuuuxyxy例：已知速度场，其中a是常数，流线是平行于x轴的直线。判别该流动是否有旋。解：,0xyzuayuu110022yxuuaxy例：已知速度场，其中b是常数，流线是以原点为中心的同心圆。解：0,rbuur2222sincos102xyyxzbybyuurrxybxbxuurrxyuuxy