概率论第四章习题课

12020/1/19第四章随机变量的数字特征22020/1/19r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写32020/1/191()()kkkxpEXxfxdx1()()()()iiigxpEYgxfxdxr.v.函数Y=g(X)的数学期望数学期望的计算42020/1/19,1(,)()(,)(,)ijijijgxypEZgxyfxydxdyr.v.函数Z=g(X，Y)的数学期望E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X±Y)=E(X)±E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质常数11()()niiniiXXEXEX52020/1/19方差的计算2(){[()]}DXEXEX(1)利用公式计算22()()[()].DXEXEX22()()[()]EXDXEX212()()()()kkkxEXpDXxEXfxdx(2)利用定义计算常用于有关方差的证明62020/1/19方差的性质(1).0)(CD(2)2()().DCXCDX()()().DXYDXDY(3)设X,Y相互独立,证})](){[()(2YXEYXEYXD2)]}([)]({[YEYXEXE)]}()][({[2)]([)]([22YEYXEXEYEYEXEXE).()(YDXD()()()2(,)DXYDXDYCovXY72020/1/19分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布几何分布10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba()2ab12)(2ab0/12/10,σμμ2σ10pp/12/)1(pp常见随机变量的期望与方差82020/1/19()()XEXXDXX的标准化随机变量()0,()1EXDX§4.2方差92020/1/19几个重要的r.v.函数的数学期望()kEX—X的k阶原点矩(||)kEX—X的k阶绝对原点矩((()))kEXEX—X的k阶中心矩2((()))()EXEXDX—X的方差()klEXY—X,Y的k+l阶混合原点矩(())(())klEXEXYEY—X,Y的k+l阶混合中心矩()EXY—X,Y的二阶原点矩(())(())EXEXYEY—X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差(())(())()()XYXEXYEYEDXDY—X,Y的相关系数102020/1/19cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义⑶cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)⑴cov(X,Y)=cov(Y,X)2.简单性质⑵cov(aX,bY)=abcov(X,Y)a,b是常数cov(X,X)=D(X)协方差112020/1/194.随机变量和(差)的方差与协方差的关系D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)cov(X,Y)1()()()2DXYDXDY3.协方差的计算cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)122020/1/19(,)()()XYCovXYDXDY相关系数||1XY相关系数的性质||1XY存在常数a,b,使{}1PYaXb(,)()()XYcovXYDXDY132020/1/1910题某人有n把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门打开为止，求试开次数的数学期望。解kA表示事件“第k次试开是成功的”。X表示试开次数.()P121()()PAPAA112()kkPAAAA312()PAAA1nn21nn12nknk11nk1n()P112kkAAAAXkkn1,2,,142020/1/191n12nXP1n1n1(1)()2nnEXn12n152020/1/19.)(;,,)(:,}{,)(.,,,,,)(的数学期望与方差随机变量的值求且已知其它的概率密度为设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX213431304220解,d)()(11xxp因为11题2162020/1/19xbcxxxaxxXEd)(d)(4220,2)(XE,2bca35638,43}31{XP,432523d)(d2132bcaxbcxxax,262bca2042dd1xbcxxax所以172020/1/19,1b,41a解之得.41c.432523,235638,1622cbabcacba因此有182020/1/19,)1(16124e22)()()(XXXEeeEeD得22224])1(41[)1(161ee.)1(41222eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220,)1(4122exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022192020/1/1913题求设随机变量X,Y的密度函数分别为：22,0()0,0xXexfxx2(),(23).EXYEXY44,0()0,0yYeyfyy()()XEXxfxdx解202xxedx()()YEYyfydy404yyedy1214()()()EXYEXEY34202020/1/1922()()YEYyfydy2404yyedy182(23)EXY22()3()EXEY2(23)EXY213()EY58212020/1/1918题将n只球(1~n号)随机的放进n只盒子(1~n号)中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X).解iX引入随机变量，10iX第i个球配对成功第i个球配对失败1n10iXP11n1niiXX1()iEXn1()()1niiEXEX222020/1/1919题在长为l的线段上任意取两点，求两点间距离的数学期望与方差.解设X,Y分别表示两点坐标，由题知X与Y相互独立，且均服从区间0到l的均匀分布.1,0()0,xlfxl其他X与Y的联合密度函数为21,0,0(,)0,xlylfxyl其他232020/1/19设Z表示两点间距离，则ZXY()()EZEXY2001llxydxdyl0xy0xy2001()lxdxxydyl2001()lydyyxdxl3l22()[()]EZEXY22001()llxydxdyl26l22()()()DZEZEZ218l242020/1/1923题解X,Y的分布律分别为：()PA10XP()PA()PB10YP()PB0()()()XYEXYEXEYXY的分布律为：()PAB10XYP1()PAB()()EXYPAB()()EYPB()()EXPA()()()PABPAPB故A,B相互独立252020/1/19()()()PABPAPB(1,1)PXY(1)(1)PXPY()()()PABPAPB(1,0)PXY(1)(0)PXPY()()()PABPAPB(0,1)PXY(0)(1)PXPY()()()PABPAPB(0,0)PXY(0)(0)PXPY故X,Y相互独立262020/1/1928题相关系数为0.4，求解253620.42536()()()2cov(,)DXYDXDYXY0.4XY设随机变量X与Y的方差分别为25和36，(),().DXYDXY()25,()36.DXDY()()2()()XYDXDYDXDY6124()85DXY()37DXY272020/1/1929题设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布，令，(a,b2(0,)N,UaXbYVaXbYUV均为非零常数）求解由题知，()()0EXEY2()()DXDY()()EUEaXbYcov(,)()()UVUVDUDV()()aEXbEY0()0EV222()ab()()DUDaXbY又X与Y相互独立，故22()()aDXbDY282020/1/19解法1222()ab()()DVDaXbY22()()aDXbDYcov(,)()()()UVEUVEUEV()()()EUVEaXbYaXbY2222()EaXbY2222()()aEXbEY22()()()EXDXEX22()EY2()EUV2222ab222()abcov(,)UV222()abUV222222()()abab2222abab292020/1/19解法2cov(,)cov(,)UVaXbYaXbYcov(,)cov(,)UVaXbYaXbYcov(,)cov(,)aXaXbYbYaXbYcov(,)cov(,)aXaXaXbYcov(,)cov(,)bYaXbYbY22()()aDXbDY222()abUV222222()()abab2222abab302020/1/19解法3cov(,){[()][()]}UVEUEUVEVcov(,){[()][()]}UVEUEUVEV()EUV[()()]EaXbYaXbY2222()EaXbY222()abUV222222()()abab2222abab312020/1/19解法41cov(,)[()()()]2UVDUVDUDVD(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)()DUV[()()]DaXbYaXbY(2)DaX24()aDX224a222221cov(,)[42()]2UVaab22221(22)2ab222()abUV222222()()abab2222abab322020/1/1930题设X,Y,Z为三个随机变量,且()()1EXEY(),().EXYZDXYZ0XY求()1,EZ()()()1,DXDYDZ12XZ12YZ解()EXYZ()()()EXEYEZ1()DXYZ()()2cov(,)DXYDZXYZ()()2cov(,)DXDYXY()2[cov(,)cov(,)]DZXZYZ3