概率论课件 (11)

(1)设ˆ是参数的无偏估计,且有ˆ0D试证明22ˆˆ不是2的无偏估计.(2)试证明均匀分布100xfx其他中的最大似然估计量不是无偏的.证明:由题Eˆ而:DˆEE22ˆˆ所以:EE22ˆˆ2iiXˆmax似然估计.Eˆ2复习：若X~N,22已知则的%95置信区间为：X.,X.nn196196.196.196%95即：X.X.nn196196X.n196X./n196令：XU/nU~N,011－α(一)均值μ的置信区间.二.正态总体X~N(μσ2)参数的区间估计1.已知,的区间估计;令：XU/n由：PU121U其中:12记:z2即：Xzz/n22的1-α置信区间为:X,Xnn1其中:12记:z2Xzn2适用大(小)样本.解出：例:若灯泡寿命服从正态分布X~N(μ,8)从中抽取10个进行测试得(单位:小时):1050110010801120120012501040113013001200求平均寿命得置信区间(α=0.05)解:样本均值101101iixx=1147.205.01由:=0.975查表得.λ=1.96zn275.1102296.1置信区间上下限:xzn21147+1.75=1148.751147－1.75=1145.25故:μ的95%置信区间为(1145.25,1148.75)xzn22.方差σ2未知,μ的区间估计.nSXT/选择统计量:1~nt先讨论小样本,n30XPs/n1得:的1-α置信区间为:tn1由:1-αsXtnn1如果用此方法估计例1(灯泡寿命),试比较两种方法下的置信区间长短.样本均值1147x小样本10n05.0stnn1905.0t=2.2621012291iixxs样本方差=7578.987s..87226262231710sxtn..n111476223108477sxtn..n111476223120923故μ的95%的置信区间为:)23.1209,77.1084(而利用σ2=8计算的置信区间为:(1145.25,1148.75)较短nSX/1,0~N),(nSXnSX此时,μ的置信区间为:其中:21若:n30,即大样本.z2ssXz,Xznn22例一家保险公司收集到由36位投保个人组成的随机样本,得到每位投保人的年龄数据如下:233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532试建立投保人年龄90%的置信区间.解:样本数据来源于正态总体.n=36.01由:21=0.995得:.1645x.395s.777sxn...777395164536.,.374416例某社会工作者欲估计那些初犯从监狱释放出来后到第二次犯罪并重新被投入监狱的犯人在监狱外的平均时间。随机从县法院抽取n=150份监狱记录，表明第一、第二次犯罪之间监外生活得平均时间为3.2年，标准差为1.1年。用该信息估计县法院所有记录在册得犯人在第一、第二次犯罪之间监外生活得平均时间,构造的95%得置信区间解:sxzn1.13.21.961503.024,3.376n=150.005由:得:.19621即:单个总体均值的置信区间:总体分布样本容量正态分布大样本(n≥30)小样本(n30)已知未知xnxnsxnsxtn3.估计时样本容量的选取在置信区间xE中,区间宽度为:E2称为允许误差.若区间为:xn那么,En22解得:nE222若未知,可用s或极差来代替.E已知z2例:一机构决定调查表明在某品牌谷物包装上的重量。涉及到的公司定期从生产线上抽取装有谷物的纸板箱，该机构总共得到1500个重量数据，据此算出平均每箱重11.80公斤,标准差为0.75公斤根据这一信息,为了估计现在生产的平均每箱的重量,该机构必须检查多少箱谷物,已知99%置信区间的宽度为0.50解:由题可知,E=0.25.075.258代入计算:nE222....2222580755991025至少抽取60箱.(二)X~N(μσ2),σ2的区间估计给定置信水平1-α,利用统计量:nSW221~n21121-α22PW121由:得:11221n2122nnSnn2222122111从中解得(n)S(n)S(n)(n)222222121111于是即为所求.)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn适用于小样本。未知。例假定初生男婴儿的体重X~N(μσ2),随机抽取12名新婴儿,测其体重为:3200,2520,3000,3000,3600,31603560,3320,2880,2600,3400,2540求σ的95%的置信区间.解:由统计量:nSW221~n2111221n2122n=3.82=21.9s2iixxn122111x3057,=140900(n)S(n)22211,.1114090070730219(n)S(n)221211,.11140900405497382故:σ2的95%的置信区间为:(70730,405497)σ的95%的置信区间为:(265.95,636.79)三.其他总体的区间估计无论总体的分布如何,只要EX,DX存在有:21DXEXXP为估计需要转而考虑:21XDXEXP其中:EXDXn2(一)切贝谢夫不等式估计法(大,小样本均可)21nDXXP代入切贝谢夫不等式:即:21nDXXXP若区间置信度为95%以上,则95012.nDX令:0502.nDX有:2050n.DXnDX20μ的95%置信区间为:nDXXnDXX2020一般地:112nDX令:2nDX有:nDX若区间置信度为,则1nDXXnDXXμ的置信区间为:1例：如果用此方法估计例1(灯泡寿命),试比较两种方法下的置信区间长短.而利用σ2=8计算的置信区间为:(1145.25,1148.75)较短解：.005由切比谢夫不等式得95％的置信区间为：nDXXnDXX2020208208114711471010,11431151即：(二).大样本下其它总体的区间估计由中心极限定理:~XnDX,N(1)若DX已知,标准化后:~n/DXX10,N在大样本下:可由:1n/DXXP得μ的1-α置信区间:)nDXX,nDXX(其中:由21查表可求z2适用大样本的其他总体.(2)若DX未知,则有置信区间:SS(Xz,Xz)nn2222例某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.解：设每天职工的总医疗费为X，大样本，2E(X)=,D(X)=(未知)将=170,s=30,=1.96,n=30代入得,x的置信水平为0.95的置信区间是[159.27,180.74]z2四.总体比例的区间估计引例:某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例,随机抽取了100名下岗职工,其中65名为女性,试以95%的置信水平估计该市下岗职工中女性比例的置信区间.解:设X=0,表示男性,X=1表示女性其分布为:X01pp1P(大样本)EXpDXpp1取样本,其样本频率为:计算样本方差S2=niiXXn2111X未知S2=niiXXn2111niiXnXn22111niiXnXn2111nXXn211p的置信区间为:SS(Xz,Xz)nn2222即:(z,z)nn2211....0651065065196100.%,.%55657435一般地:总体比例的1-α置信区间为:(z,z)nn2211统计学家W.G.Cochran提出样本容量的参考:pnpn0.50.4~0.60.3~0.73050800.2~0.80.1~0.9200600作业:1.预习:§9.1--§9.22.练习P1693.思考题:A组:X~N(μ,σ2),已知μ,构造σ2的1-α的置信区间B组:简述样本容量与置信水平,总体方差,允许误差的关系