概率论课件3.4(10.11.)

概率论与数理统计概率论与数理统计§3.4随机变量函数的分布第三章概率论与数理统计概率论与数理统计主要内容二、二个随机变量函数的分布一、一个随机变量函数的分布概率论与数理统计()()FyPy(28)Py解,04,()80,.28.xxpx设随机变量的概率密度为其它求随机变量的概率密度例1第一步先求=2+8的分布函数().Fy82()dypxx82yP一、一个随机变量函数的分布概率论与数理统计1818(),04,()82220,.yypy所以其它8,816,320,.yy其它()()pyFy88()(),22yyp第二步由分布函数求概率密度.82()dypxx概率论与数理统计()()FyPy2()PyPyy（）()()FyFy2320,0,(),0.23.xxpxxex设随机变量的概率密度为求随机变量和的概率密度解2,先求随机变量分布函数例20y当时，0y当时，()()0FyPy，()d()d.yypxxpxx概率论与数理统计()()pyFy()()()()pyypyy2()311()022yyeyy,0,20,0.yyeyy再由分布函数求概率密度.概率论与数理统计.　　由上述例题可归纳出计算连续型随机变量函数的概率密度的方法23()3213(),3,2203.yyeyy，23yx32yx，32()()[()d]ypyFypxx23()3233()(),3,2203.yyyeyy，当=2+3时,有概率论与数理统计()f定理1设为连续型随机变量，p(x)为其密度函数.又y=f(x)严格单调,其反函数h(y)具有连续导数.则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为'()(),,()0,phyhyyy其它.)(),(max,)(),(minffff＝其中'()'()0,()0,fxfxhyhy不妨设为单调增函数，则因其反函数存在且亦为单调增函数即证则()()(())FyPyPfy''(())(())(())(()),pyphyhyphyhy(())(())PhyFhy，()()fyf其中同理可证f（x）单调减时结论也成立.概率论与数理统计已知的密度函数p(x)或分布函数求的密度函数（1）从分布函数出发注：连续性r.v.函数的分布的求法()f（2）用公式直接求密度函数''()()0,()0,()()(())(())1(())fxfxhyFyPyPfyPhyFhy若为单调减函数，则此时[]则'''()(())[()](())[()],[()][()],pyphyhyphyhypyphyhy因而证得()().fyf其中概率论与数理统计证明的概率密度为.,eπ21)(222)(xσxpσμx,)(baxxgy设,)(abyyhx得.01)(ayh知.)0(,),(~2也服从正态分布性函数的线试证明设随机变量abaσμN例5概率论与数理统计222)(eπ211σμabyσa.,eπ2122)(2)]([yaaσbaμy)(1)(abypayp的概率密度为得其它由公式bayyhyhpyp.,0,,)()]([)())(,(~2aσbaμNba得概率论与数理统计.),2π,2π(~,,,sin的概率密度试求电压且有是一个随机变量相角常数是一个已知的正其中设电压VUΘΘAΘAV解上恒有在因为)2π,2π(sin)(θAθgv,0cos)(θAθg,arcsin)(Avvhθ所以反函数为,1)(22vAvh例6概率论与数理统计的概率密度为知又由ΘUΘ),2,2(~.,0,2π2π,π1)(其他θθf的概率密度为由定理得ΘAVsin.,0,,1π1)(22其他AvAvAvφ概率论与数理统计例3已知~N(0,1),,求解从分布函数出发[yy[yy当y0时，当y0时，][()()FyPy2()()FyPy()Pyy()()FyFy().py2()0.Fy0,0,()()(),0.yFyFyFyy故概率论与数理统计从而0,0,1()()(),0.2ypypypyyy21/20,0,()1,0.2yypyeyy即概率论与数理统计二、二个连续型随机变量函数的分布当为连续r.v.时，()()FzPz((,))Pgz(,)zDpxydxdy其中(,){(,)|(,)}.zDxygxyz-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51-1-0.500.51Dz其几何意义为概率论与数理统计。fyxP的分布求已知,,,~,zfPzF,zyxfdxdyyxP,,zFzp仿一维的作法.第一步先求分布函数由分布函数的定义第二步由分布函数和密度函数的关系求密度函数概率论与数理统计例4设独立同分布,均服从N(0,1),求,22zPzF：的分布函数先求解22的密度函数。；zF，z00显然有时当zPz，Fz时当0dxdyeyxz2222221rdrezr02222zzezFzp的密度函数为于是220,00,22zzzezpzzP22drrderyrxrz2020221sincos概率论与数理统计1、和的分布：设的联合d.f.为p(x,y),则•z•z()()FzPz()Pz(,)xyzpxydxdyd(,)dzxxpxyyz(,)d(,)dzzxpxzx令y=z-x(,)dzzpxzxdx()(,)dpzpxzxx概率论与数理统计特别地，若相互独立，则()(,)dpzpxzxx(3)z()(,)dpzpzyyy或()()()dpzpxpzxx()()()dpzpzypyy或()()pzpz记作()()pzpz记作(1)z(2)z(4)z,称之为函数与的卷积.()()pzpz概率论与数理统计例5已知的联合d.f.为1,01,01,(,)0,xypxy其他.解法一（图形定限法）1,01,()0,xpx其他.1,01,()0,ypy其他.显然相互独立,且(,),求().pz,概率论与数理统计()()()dpzpxpzxx10()dpzxx1,01,1,1,()0,0,zxzxzpzx其他.其他.z1z=x10()dpzxx0,02,zz或01d,01,zxz111d,12,zxzx210,02,(),01,2,12.zzpzzzzz或1,01,()0,xpx其他.概率论与数理统计()()()dpzpxpzxx10()dpzxx1,01,()0,xpx其他.11()dyyzxzzzzpypydy1,01,()0,ypy其他.．．．．z-1z01y()0pz当z0时,001()1dy=zzzpz当时，．．．．z-10z1y．．．．0z-11zy．．．．01z-1zy112()1dy=2-zzzpz当1时，()0pz当z2时,0,02,(),01,2,12.zzpzzzzz或解法二概率论与数理统计解法三从分布函数出发()()FzPz(,)ddxyzpxyxy当z0时，()0.Fz1yx1yx11•z•z当0z1时，00()d1dzzxFzxy0()dzzxx2,2z().pzz概率论与数理统计当1z2时，110d1dzxzxy111()dzzzxx2221zz()2pzzz-11yx1•z•z()(1)Fzz1yx122当2z时，()1Fz()0pz0,02,(),01,2,12.zzpzzzzz或概率论与数理统计例3已知的联合d.f.为其他,00,10,3),(xyxxyxp解法一（图形定限法）dxxzxpzp),()(由公式（1）,.,zp求其他,02,10,3),(xzxxxxzxpzxx=112概率论与数理统计zxx=112当z0或z2,zzzz当0≤z1,22/893)(zxdxzpzz当1≤z2,)41(233)(212/zxdxzpzpZ(z)=0其他,021),41(2310,89)(22zzzzzp这比用分布函数做简便.概率论与数理统计解法二（不等式组定限法）dxxzxpzp),()(考虑被积函数取非零值的区域xxzx010)(102zxxz,2,0时当zz时当10z0)(zp其他,00,10,3),(xyxxyxp22893)(zdxxzpzz．．．．zz/201y．．．．0z/2z1y．．．．0z/21zy．．．．01z/2zy时当21z212411233)(zdxxzpz概率论与数理统计其他021)1(3103)(1423289222zxdxzzxdxzpzzzz概率论与数理统计()()()pzpxpzxdx241,2ye~(0,2).N故)2,0(~N例4设与相互独立且都服从N（0，1）,证明证由卷积公式22()221122xzxeedx22tzx22()4212zzxeedx2242122yteedt概率论与数理统计正态随机变量的结论2~(,),1,2,,,iiiNin若12,,,n相互独立,则2111~(,)nnniiiiiiN推广若相互独立,221122~(,),~(,),NN则221212~(,)N,若()221122~(,;,;),N则22121122~(,2)N,概率论与数理统计2、商的分布：设的联合d.f.p(x,y)，,求().pz(,)