第15讲函数的综合应用

新课标高中一轮总复习理数理数•第二单元•函数第15讲函数的综合应用理解函数的概念，掌握函数的图象和性质，会用函数的图象和性质解决数学中的综合问题；理解函数与方程、不等式的关系，会用这些关系解决有关问题.1.设f(x)=xsinx,若x1、x2∈[-,]且f(x1)f(x2),则下列不等式恒成立的是()22DA.x1x2B.x1x2C.x1+x20D.x12x22(方法一)因为f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x),所以f(x)在R上是偶函数.又f(x1)f(x2)，所以f(|x1|)f(|x2|).又f(x)在[0,]上是增函数，所以|x1||x2|，即x12x22，故选D.(方法二)f(x)在R上是偶函数,且在[0,]上递增,作图如右,由图象知|x1||x2|,即x12x22,故选D.222.设f(x)=(x≠1)1(x=1),若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数解x1、x2、x3，则x12+x22+x32等于（）A1|1|x22b21cA.5B.2+C.13D.3+作函数f(x)的图象如图所示.由图象知f(x)关于x=1对称,因此方程的根也必须关于x=1对称.由题意，方程三个根，必有x1=1的根，另外两根有x2+x3=2，且由=12=0或x2=2,则x3=2或x3=0.所以x12+x22+x32=5，选A.1|1|x3.已知f(x)是定义在R上且以3为周期的偶函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值为()BA.5B.4C.3D.2因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)=0.又因为f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(-2)=f(1)=f(4)=0,f(2)=f(5)=0,故方程f(x)=0在(0,6)内至少有4个解.4.若a1，且a-m+logana-n+logam，则m、n的关系是（）AA.mn0B.m=n0C.nm0D.不确定设f(x)=a-x-logax，因为a1，所以f(x)为单调递减函数.由a-m+logana-n+logam，得a-m-logama-n-logan,即f(m)f(n),故mn0.1.函数的综合主要包括以下两个方面(1)函数内容本身的相互综合，如函数的概念、图象和性质等方面知识的综合，复合函数等.(2)函数与其他知识的综合，如函数与方程、不等式、三角函数、数列和几何的综合.2.函数的思想方法包括：化归、数形结合、分类讨论等思想方法题型一恒成立问题典例精讲典例精讲例1f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立,求a的值.若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立,当x0即x∈(0,1］时，f(x)=ax3-3x+1≥0，可化为a≥-.23x31x设g(x)=-，则g′(x)=,所以g(x)在区间(0,］上单调递增，在区间［,1］上单调递减，因此g(x)max=g()=4,从而a≥4.当x0即x∈［-1,0)时，f(x)=ax3-3x+1≥０可化为a≤-,g(x)=-在区间［-1,0)上单调递增，因此g(x)min=g(-1)=4，从而a≤4,综上a=4.23x31x43(12)xx12121223x31x23x31x函数的综合运用,包括构造函数模型、解决不等式的恒成立问题，通常采用分离参数后，构造函数模型求最值.点评点评题型二比较参数值的大小例2若正实数a、b满足ab=ba,且a1,则有()CA.abB.abC.a=bD.不能确定a、b的大小由a1,可得f(a)0,根据题意知f(b)0,即b1,在x∈(0,1)上,f′(x)=0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数，又f(a)=f(b)，所以a=b.21Inxx等式ab=ba两边取对数可以转化为=,构造函数f(x)=,利用函数的性质解题.InaaInbbInxx点评点评在近几年的高考中，出现了与函数f(x)=相关的一些试题,若利用函数f(x)=的图象和性质进行求解，就比较简单易解.InxxInxx函数f(x)=的导函数f′(x)=,若f′(x)0,则xe；若f′(x)0,则xe.即函数f(x)=在(0,e］上是增函数，21InxxInxxInxx在［e,+∞)上是减函数.且注意x1时，函数f(x)0，所以函数f(x)的图象如图所示，由图象可得其性质.变式变式变式若m、n是正整数，且nm≥1，求证：(1+m)n(1+n)m.(1+m)n(1+n)m(nm≥1),构造函数f(x)=(x1)，易知函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数，当nm≥1时，f(m)f(n),即,所以(1+m)n(1+n)m.(1)Inmm(1)Innn(1)Inxx(1)Inxx(1)Inmm(1)Innn题型三函数与不等式的综合问题例3已知函数f(x)的定义域为[0,1],且同时满足：①对任意x∈[0,1]总有f(x)≥2；②f(1)=3；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.求：（1）f(0)的值；（2）f(x)的最大值.(1)由条件①，得f(0)≥2，又由条件③,取x1=x2=0,得f(0)≤2,所以f(0)=2.(2)任取x1、x2∈[0,1],且x1x2,则0x2-x11，所以f(x2-x1)≥2.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)-2≥f(x1),所以f(x)在[0,1]上为增函数，所以f(x)max=f(1)=3.备选题备选题已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5)，且函数f(x)在区间［-1，4］上的最大值是12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由.37x(1)因为函数f(x)是二次函数,且f(x)0的解集是(0,5),所以可设f(x)=ax(x-5)(a0),如图所示.又函数f(x)在区间［-1,4］上的最大值为12，由图象可知f(-1)=6a=12,所以a=2,由此得到函数f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.(2)方程f(x)+=0等价于方程2x3-10x2+37=0.设函数g(x)=2x3-10x2+37,37x则g′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).当x∈(0,)时,g′(x)0,g(x)在(0,)上是减函数;当x∈(,+∞)时,g′(x)0,g(x)在(,+∞)上是增函数,又因为g(3)=10，g()=-0,g(4)=50,所以方程g(x)=0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实根,所以存在惟一的自然数m=3,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.10337x127103103103103103103点评点评本题主要考查“三个二次”的关系、函数的单调性、极值、最值、求二次函数的解析式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查函数与方程、数形结合等思想方法和分析问题、解决问题的能力.与二次函数有关的综合题涉及面广，包容量大，几乎贯穿高中数学的各个章节，是推理能力的重要题型.方法提炼方法提炼1.理解函数的概念，掌握函数的图象和性质是解决函数综合问题的基础，灵活运用函数的图象、性质及数学思想方法是解决函数的综合问题的关键.2.解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系、把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.要注意等价转换(化归)、数形结合、分类讨论等数学思想和方法的综合运用.3.函数与方程，函数与不等式是函数的综合中最重要的部分，是历年高考的重点、热点和难点，应予以重视.4.隐函数问题：注意赋值法的应用，其次要充分的利用已知的条件挖掘隐含条件，抽象概括函数的一些性质，如奇偶性、单调性、周期性等.走进高考走进高考学例1(2009·天津卷)已知函数f(x)=x2+4x,x≥04x-x2,x＜0，若f(2-a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是（）CA.(-∞，-1)∪(2，+∞)B.(-1，2)C.(-2，1)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)本题解题的关键是正确作出函数的图象,概括出函数在R上是单调递增函数.所以由f(2-a2)f(a)2-a2a-2a1.学例2(2009·全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M（1,),则四边形ABCD的面积的最大值为.25如图，取AC的中点F，BD的中点E,连接OE、OF，则OE⊥BD，OF⊥AC.又AC⊥BD，所以四边形OEMF为矩形.设OF=d1，OE=d2，所以d12+d22=OM2=3.又|AC|=,|BD|=,所以S四边形ABCD=|AC|·|BD|=·==.因为0≤d22≤3.所以当d22=时,S四边形ABCD有最大值为5.2124d2224d22122424dd2223252()24d122124d224d32本节完，谢谢聆听