数字信号处理1.2

•在采样定理推导过程中，对连续信号的采样和恢复是引出采样定理的重点，而在这过程中信号频域和时域的相互转换是本节教学的难点。•理解采样定理的内容，熟悉采样定理的推导过程和思路方法，掌握采样定理在解题中的应用【教学要求】【重点难点】1.2采样【主要内容】1.矩形脉冲采样（物理采样，实际可实现）2.冲激采样（理想采样，实际不可实现）3.采样信号的频谱4.原始信号的恢复1.连续时间信号如何转换成离散时间信号？2.信号经过采样后会发生什么变化（如频谱的变化）？3.采样后信号的内容是否丢失？采样序列（样本值）能否代表原始信号？4.由离散时间信号恢复连续时间信号需要什么条件？想一想？？？•采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的样值（即样本值）表示。这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。•可以说，采样定理在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁。•一个典型数字信号处理系统：连续时间信号采样/量化1101…数字输入数字信号处理1101…数字输出D/A转换连续时间信号输出数字化数字化是什么？•数字化：把时间和幅度连续的信号转换成离散的数字信号。•连续时间的离散化－－采样(Sampling)。一般采用均匀采样(uniformsampling)。•连续幅度的离散化－－量化Quantization)，可采用线性量化,或非线性量化什么是采样•所谓“采样”就是利用采样脉冲序列从连续信号中“抽取”一系列离散样值的过程。这样得到的离散信号称为采样信号。采样器一般是由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。P(t)T模拟信号的数字化数字信号数码量化电平模拟信号采样保持信号量化电平数字信号转化成模拟信号数字信号数码量化电平D/A输出信号模拟信号D/A输出模拟滤波输出•采样的2种方法冲激采样矩形脉冲采样1.2.1矩形脉冲采样•将连续信号变成离散时间信号有各种采样方法，其中，最常用的是等间隔采样，即每隔一个固定时间T取一个信号值（样本值）。•T称为采样周期，1/T称为采样频率，记为fs或s（s＝2πfs）•采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为τ的脉冲p(t)。(如图c)•(如图d)开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为τ的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度。这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出信号为一般τ很小,τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。)()()(tptxtxap实际情况下，τ＝0达不到，但τT时，实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程的所有本质特性。P(t)T1.2.2冲激采样开关闭合时间τ→0时，为理想采样，即冲激采样。【特点】：τ→0时的采样序列通常用冲激函数来表示，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。nnTttM)()()()()(ˆtMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()(1.2.3采样信号的频谱•问题：理想采样信号的频谱有何特点？它与连续信号频谱有什么关系？动动手：请同学们对理想采样信号进行傅立叶变换，观察一下它的频谱特点。傅立叶变换－－推导过程dtetxtxFjXtjaaa)()()(dejXjXFtxtjaaa)(21)()(1(1))()()(ˆ)(ˆtMtxFtxFjXaaa冲击载波序列nmtjmmseanTttM)()(ssfT22dtetMTaTTtjmms22)(1TdtetTdtenTtTTTtjmTTntjmss1)(1)(12222所以mtjmseTtM1)()()()(ˆ)(ˆtMtxFtxFjXaaaMtmjatjmtjmatjadtetxTdteetxTdtetMtxss)()(1)(1)()(msaajmjXTjX)(1)(ˆ比较二者频谱函数，因此有，•结论：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)。信号经过采样之后频谱发生了变化(周期延拓)，那么怎样才能恢复原始信号呢？奈奎斯特（Nyquist）采样定理•要使一个频带有限的信号经过采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。Ωs≥2ΩmaxΩs/2称为折叠频率•能够恢复出原始信号的最低采样频率称为奈奎斯特频率（等于信号最高频率的2倍，即2Ωmax）。•信号频谱满足下式才能不失真还原：202)()(ssaajXjX1.如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中,各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现象。2.当出现频谱混淆后,用基带滤波恢复出来的信号就要失真。表一些典型的数字信号处理系统应用系统上限频率maxf采样频率sf地质勘探500Hz1-2kHz生物医学1kHz２-４kHz机械振动２kHz4-10kHz语音４kHz8-16kHz音乐２０kHz40-96kHz视频４MHz8-10MHz补充－－混频偏差•频谱混淆就是通常所说的混频偏差(aliasfrequency)。•混频偏差是输入信号的频率和最靠近的采样率整数倍的差的绝对值。•下面给出了一个例子。假设采样频率fs是100HZ,信号中含有25、70、160、和510Hz的成分。采样的结果将会是低于奈奎斯特频率(fs/2=50Hz)的信号可以被正确采样。而频率高于50HZ的信号成分采样时会发生畸变。分别产生了30、40和10Hz的畸变频率F2、F3和F4。•计算混频偏差的公式是：•混频偏差＝ABS(采样频率的最近整数倍－输入频率)。其中ABS表示“绝对值”•例如：混频偏差F2=|100–70|=30Hz•混频偏差F3=|(2)100–160|=40Hz•混频偏差F4=|(5)100–510|=10Hz因此，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波器），阻止高于S/2频率分量进入。实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率max更大些，如Ωs(3~5)max。1.2.4．采样的恢复（验证奈奎斯特定理）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有││S/2将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图202)()(ssaajXjXmsaajmjXTjX)(1)(ˆ)(1)(ˆjXTjXaa)(ˆtxa202)(ssTjG采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。)()()(ˆjXjGjXjYaaG(j)g(t)G(j)Txa(t)y(t)=xa(t)0S/2从频域的角度验证1.2.5采样内插公式•问题：采样信号通过理想低通滤波器G(j)后的响应是什么？它能否代表原始信号？（从时域的角度验证奈奎斯特定理）理想低通G（j）的冲激响应为deTdejGtgsstjtj222)(21)(tTtTttsssin22sin频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为dtgnTxdtgxtynaa)()()()()(ˆ)(nnaanTtgnTxdnTtgx)()()()()(这里，g(t-nT)称为内插函数)()(sin)(nTtTnTtTnTtg特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。内插公式表明，采样信号经理想低通后的输出等于采样值xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如图1.7所示。在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义:证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频率，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈奎斯特定律。小结•本节主要讲解了奈奎斯特采样定理、采样信号的频谱特点以及采样信号的无失真恢复。•【作业】•思考题：1.采样信号的频谱有何特点？2.采样频率应如何选取•课后习题P351.1,1.2,1.3,1.4,1.5