第二章 恒定电场

第二章恒定电场第二章恒定电场SteadyElectricField序导电媒质中的电流基本方程•分界面衔接条件•边值问题导电媒质中恒定电场与静电场的比拟电导和接地电阻下页电源电动势与局外场强返回第二章恒定电场通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。Introduction2.0序本章要求:熟练掌握静电比拟法和电导的计算。理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。下页上页返回第二章恒定电场基本方程E的旋度边值问题边界条件电位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电场知识结构基本物理量J、E欧姆定律J的散度下页上页返回第二章恒定电场2.1.1电流(Current)定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。2.1导电媒质中的电流CurrentinConductiveMedia三种电流：tqIddA传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。下页上页返回导体或电解液第二章恒定电场1.电流面密度JdSIJS电流体电荷以速度v在某一体积内作匀速运动形成体电流Jv2mA电流密度2.1.2电流密度（CurrentDensity)下页上页返回图2.1.1电流面密度矢量图2.1.2电流的计算（垂直）（描述导体中每一点的电荷运动情况）电流密度的方向为正电荷的运动方向描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流第二章恒定电场2.电流线密度KAmKvn()dlIlKe电流en是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量。面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。图2.1.3电流线密度及其通量下页上页电流线密度返回描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流第二章恒定电场3.元电流的概念元电流是元电荷以速度v运动形成的电流qdllνKνJνd(dd(dd)(dISSVV线电流元）面电流元）体电流元工程应用媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。下页上页图2.1.4媒质的磁化电流返回dq第二章恒定电场导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场因此，导电媒质中，电流密度矢量和电场强度之间必然存在一种函数联系欧姆定律微分形式。JE2.1.3欧姆定律的微分形式(DifferentialFormofOhm’sLaw)电导率，其倒数为电阻率lRS导电媒质中第二章恒定电场象金银等这样的金属，电导率很高，具有良好的导电性能，因此称为良导体。电导率为无限大的导体称为理想导体，在理想导体中，电场一定为0，因为如果电场不为0，电流密度会为无限大。这与电流必须有限相矛盾。反之，象玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小，在一般情况下可以忽略。近似认为为0。电导率为0的媒质称为理想介质。理想介质中电流为0。补充第二章恒定电场J与E共存，且方向一致。简单证明：欧姆定律微分形式。JE在线性媒质中对两边取面积分EJ左边dSIJS右边dSES欧姆定律积分形式。RIU所以RIU下页上页图2.1.5J与E之关系返回URUlSdSUlS第二章恒定电场自由电荷在导电媒质中移动时，不可避免地会与其它质点发生碰撞，例如金属导体中的自由电子会在电场力地作用下定向运动，会不断地与原子晶格发生碰撞，将动能转换为原子的热振动，造成能量损耗。因此要在导体中维持恒定电流，必须持续地对电荷提供能量。这些能量最终都转化成热能焦耳定律2.1.4焦尔定律的微分形式第二章恒定电场2.1.4焦尔定律的微分形式(DifferentialFormofJoule’sLaw)导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为EJpW/m3RIUIVPV2dEJW—焦耳定律微分形式—焦耳定律积分形式下页上页返回表示导体中任一点在单位体积单位时间内损耗的功第二章恒定电场提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。2.2.1电源(Source)2.2电源电动势与局外场强SourceEMFand0therFieldIntensity下页上页返回图2.2.1恒定电流的形成电源能将电源内部导体原子或分子中的正负电荷分开，使正负电荷之间的电压维持恒定，从而使与它相联结的导体（电源外）之间的电压也恒定，使导体内存在一恒定电流，并在周围维持一恒定电场。第二章恒定电场电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。eefE=q局外场强ef－局外力2.2.2电源电动势(SourceEMF)图2.2.1恒定电流的形成（电源中将正负电荷分开的力）局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极即作用于单位正电荷上的局外力第二章恒定电场因此，对闭合环路积分lEEd)(lec局外场Ee是非保守场。)(ecEEJ图2.2.2电源电动势与局外场强ddbeealEl=El电源电动势电源内总场强ceEEEdlEl0dddellbeacElElEl下页上页返回abL第二章恒定电场2.3.1基本方程(BasicEquations)2.3基本方程•分界面衔接条件•边值问题BasicEquations•BoundaryConditions•BoundaryValueProblem在恒定电场中0t恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。故0JtqSSJd电荷守恒原理1.J的散度亦称电流连续性方程0dSJS散度定理0dVJV下页上页返回(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）第二章恒定电场结论：恒定电场是无源无旋场。2.E的旋度所取积分路径不经过电源，则3.恒定电场（电源外）的基本方程0dSSJ0dllEEJ0J0E恒定电场是无旋场。得0E积分形式微分形式构成方程0dllE斯托克斯定理0d)(SES下页上页返回DE仍成立思考？?E只有导电媒质不均匀的区域才不为0第二章恒定电场2.3.2分界面的衔接条件（BoundaryConditions)说明分界面上E切向分量连续，J的法向分量连续。折射定律2121tantan图2.3.1电流线的折射0dllE0dSSJ由得2t1tEE2n1nJJ下页上页返回第二章恒定电场00022n2n＝JE0n1E例2.3.1导体与理想介质分界面上的衔接条件。0022J，解:在理想介质中空气中2n21nn2EDD导体中表明1分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行。表明2恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。01n2nJJ故下页上页返回图2.3.2导体与理想介质分界面2n1n0JJ分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行第二章恒定电场0/11t2t1tJEE若（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。1yxEEeeE2n2t2导体周围介质中的电场：表明3电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。下页上页返回图2.3.3载流导体表面的电场第二章恒定电场2.3.3边值问题（BoundaryValueProblem)分界面衔接条件拉普拉斯方程02得0E由基本方程出发由得0J2t1tEE2n1nJJ21nn2211常数恒定电场中是否存在泊松方程？思考下页上页返回E)(EE0第二章恒定电场例2.3.2试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。01212212(区域）1解:选用圆柱坐标系，边值问题为：002(区域）201222222221121，，时4π02π1U下页上页图2.3.4不同媒质弧形导电片返回第二章恒定电场电位2102121021)()(π4UUeEeE)(π4)(π42101221021UU电场强度电荷面密度)-()(π4212100201012UEEDDnn通解DCBA21,)(π421012U下页上页返回第二章恒定电场2.4导电媒质中恒定电场与静电场的比拟2.4.1比拟方法(ContrastMethod)ContrastofSteadyElectricFieldandElectrostatics0DEDSqSDd02(0)静电场0E恒定电场（电源外）EJSISJd0J0E02恒定电场JIE静电场EDqε两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。下页上页返回第二章恒定电场两种场可以比拟的条件1.镜像法的比拟)2,(21221212.4.2比拟方法的应用（ContrastMethodApplication)图2.4.1静电场与恒定电流场的镜像法比拟静电场微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同；媒质分界面满足2121恒定电场)2,(2122121IIII下页上页返回（静电场，恒定电场）第二章恒定电场2.恒定电场模拟静电场实验固体模拟（如导电纸模拟）实验方法：液体模拟（如电解槽模拟）图2.4.2静电场平行板造型恒定电流场的电极表面近似为等位面图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件是什么？思考(条件)媒质电极下页上页返回p811122第二章恒定电场2.5.1电导(Conductance)1.通过电流场（或电压）计算电导2.5电导与接地电阻或设ConductanceandGroundResistor思路IJJ/ElUlEd/GIUUEEJSISJdUIG/设下页上页返回工程上常常需要计算两电极（导体）之间填充的导电媒质（或有损耗绝缘材料）的电导（或漏电导，其导数为绝缘电阻）电导：流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。第二章恒定电场当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。UIUQGC多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部分电容比拟。（自学）2.比拟法GC即下页上页lSlSlESJlESDddddSSSESEdd返回第二章恒定电场例2.5.1求图示同轴电缆的绝缘电阻。解(1)I电导12lnπ2lUIG(2)用静电比拟法求解由静电场,lnπ212lC根据GC关系式，得12lnπ211lGR绝缘电阻U下页上页图2.5.1同轴电缆横截面返回lIJπ2lIEπ2ldlE21π2dlI12lnπ2lI面电流密度设漏电流为设电缆的长度L远大于截面半径，忽略其端部边缘效应第二章恒定电场01222200,0U通解，代入边界条件，得21CC)(0U电位函数解取圆柱坐标系，边值问题)(下页上页eeE0U电场强度图2.5.2弧形导电片返回例2.5.2已知导电片厚度为h，当;00时，试求电导片的电导。0,U时第二章恒定电场电流)(d)(d0eeSJhUISba电导)mS(ln0abhUIG电流密度eUEJ0下页上页abhUln0返回eeE0U电场强度第二章恒定电场图2.5.3深埋球形接地器