第5章 随机变量及分布函数

第一节随机变量的概念基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化例设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个白球;两个红球;一红一白特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取到值2”,可记为{X=2}“一红一白”记为{X=1},“两只白球”记为{X=0}试验结果的数量化随机变量的定义1)它是一个变量2)它的取值随试验结果而改变3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件随机变量随机变量的特征:设随机试验的样本空间为S，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数与之对应，称为样本空间Ω上的随机变量。SeSeX)(X某个灯泡的使用寿命。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.的可能取值为[0,+)Y的可能取值为0，1，2，3，...,X的可能取值为[0，1]上的全体实数。例随机变量的实例用随机变量表示事件若是随机试验E的一个随机变量，S∈R，那么{X∈S}可表示E中的事件如在掷骰子试验中，用表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：“出现的点数小于４”可表示为：E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.XX}6{}4{}2{XXX}4{X随机变量的类型离散型连续型随机变量的所有取值是有限个或可列个随即变量的取值是连续的，不可列第二节离散随机变量的概率分布称此式为的分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)设离散型随机变量的所有可能取值是，而取值的概率为12,,,,nxxxkxkp即X),2,1(,)(kxXPpkkX离散随机变量的概率分布的性质1(ii)),2,1(,0)((i)1kkkkpkxXPpX-112P1/31/21/6例设X的分布律为求P(0X≤2)P(0X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=1/2+1/6=2/3分布律确定概率解=P(抽得的两件全为次品)求分布律举例例1设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2=P(抽得的两件全为正品)190136220217CCP{X=1}P{X=2}1131722051190CCC232203190CC=P(只有一件为次品)P{X=0}故X的分布律为X012kp190136190511903而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！952719054190319051实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了故从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…则X的所有可能取值为1，2，3，…,k,…P(X=k)=)(121kkAAAAP(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)对应着事件kkAAAA121例设随机变量X的分布律为2(),1,2,3,3kPXkbk试确定常数b.解由分布律的性质,有11223()()2313kkkbPXkb例232113bb1.2b几种常见的离散型分布0-1分布(二点分布)1－ppP01X则称X服从参数为p的二点分布或(0-1)分布,△背景：样本空间只有两个样本点的情况都可以用两点分布来描述。如：上抛一枚硬币。△定义：若随机变量X的分布律为:例设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为3(1)10PX7(0)10PX即X服从两点分布。{}(1)0,1,2...,;kknknPXknkCpp其中0p1,则称X服从参数为n,p的二项分布(也称Bernoulli分布）,记为X～B(n,p)二项分布Binomialdistribution在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.随机变量X的分布律从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验记X为共抽到的次品数，则)41,5(~BX2522511{2}144PXCA=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=1937.01.09.028810C2()P(x8)=8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10)泊松分布Poissondistribution若随机变量X的分布律为:...2,1,0,!)(kekkXPk其中0,则称X服从参数为的泊松分布X～P()定义服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数可以由观测值的平均值求出。实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从4的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)PXPXPXPXPXPX4,3k()!kPXkek344(3)3!PXe例解0.195630.628838泊松定理二项分布的泊松近似设在贝努利模型中，表示事件A在n次试验中出现的次数，为A出现的概率，如果满足nXnp0limnnnpekppCkPkknknknknnnn!)1(lim)(lim则实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1(二项分布的泊松近似np若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为400{1}1{0}=10.990.9820PXPX成功次数服从二项概率(400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力第三节连续型随机变量的概率分布{}()baPaxbfxdx概率密度函数定义设为一随机变量，若存在非负实函数f(x),使对任意实数ab，有则称为连续型随机变量，f(x)称为的概率密度函数,简称概率密度.Probabilitydensityfunctionp.d.f.XXX2112{}()xxPxXxfxdx1x2x密度函数在区间上的积分=随机变量在区间上取值的概率概率密度函数的性质()0,(,)fxx非负性()1fxdx规范性()fx{}1Pxcos()20Xaxxfx随机变量的概率密度为其它(0)4PX求解Step1:利用密度函数的性质求出a()1fxdx22()cos1fxdxaxdx12a4012(0)cos424PXxdx例：已知密度函数求概率Step2:密度函数在区间的积分得到此区间的概率均匀分布若连续型随机变量的概率密度为1()0axbfxba其它则称X在区间（a，b）上服从均匀分布．记为X~U(a,b)UniformDistribution定义X0abxX“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。0abx（）cd{}()1dcdcPcXdfxdxdcdxbaba意义102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布220012(2)(2)()55PXFfxdxdx解例X～U（0，5）设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程2210xx有实根的概率。解方程有实数根2440即1而的密度函数为1(15)()60xfx其它所求概率为112{1}()()3Pfxdxfxdx指数分布若连续型随机变量X的概率密度为0()(000xexfxx为常数）ExponentialDistribution定义则称X服从参数为的指数分布.)(~EX例设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数及2360(12)31xPXedxe和(1)PX330()00xexfxx解X的概率密度3311(1)()3xPXfxdxedxe(12)PX2112()()xxPxXxfxdx第四节随机变量的分布函数设X为一随机变量,则对任意实数x，(Xx)是一个随机事件，称为随机变量X的分布函数定义域为（－∞，＋∞）；值域为［０，１］。DistributionFunction分布函数的定义()()FxPXx引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。分布函数表示事件的概率P（Xb）=F(b)P（a≤Xb）=F(b)﹣F(a)P（X≥b）=1﹣P（Xb）=1-F(b)P（a≤Xb）=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a)已知X的分布律为XP10121111231212求X的分布函数，并画出它的图形。0(1)12(10)(){}56(01)1112(12)1(2)xxFxPXxxxx分布函数的性质F(x)是单调不减函数0≤F(x)≤1,且()lim()0,()lim()1xxFFxFFx12xx若12()()FxFx(){}FPX不可能事件(){}FPX必然事件F(x)处处左连续(0)()FxFx分布函数F(x)的图形F(x)是单调不减函数21()1Fxx是不是某一随机变量的分布函数？不是因为lim()0xFx函数21(0)()11(0)xGxxx可作为分布函数概率密度函数和分布函数的关系积分关系导数关系()()xFxfxdx(){}FxPXx()xfxdx()()()fxxFxfx若在处连续，则例：已知分布函数求密度函数200()0111XxFxxxx随机变量的分布函数为(0.30.7)PX(1)求（2)X的密度函数22(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF(1)201()()0xxfxFxotherwise（2）密度函数为解1(1,5