高考物理中的数学问题

三．高考物理中的数学问题（一）问题概述实验方法和数学方法是学习、研究高中物理的两种主要方法．唯有数学才能以最终的、精确和便于讲授的简明形式表达物理概念和规律，并应用于错综复杂的物理过程中．作为选拔性的全国高考，考生必须具备良好的数学思维品质和灵活处理问题的能力，才能在高考考场中游刃有余，稳操胜券．在高考物理中出现数理结合的问题有助于选拔人才，这不仅符合高考命题的原则，同时对考查考生各方面的能力，使考生真正体会数学的应用价值能起到不可替代的作用．因此，在高考物理复习中渗透数学思想，归纳总结处理物理问题的数学方法和技巧，引导考生运用灵活多变的数学工具求解数学问题是很有必要，并且是很有益的．一．渗透代数思想代数方法是高中物理中数学方法的核心．其实质是把物理问题“翻译”成数学方程．代数知识内容十分丰富，在中学物理中的应用极其广泛．物理题目众多且千变万化，但总的看来大致有两类．一类是以跟踪物理过程为主要手段的过程分析类；其二是理清物理状态为主要手段的代数计算类．代数计算类尽管最先被应用，但是将数学代数赋予一定的物理意义就显得有些模棱两可，有时不免出错．因此在物理中渗透代数思想就显得极有必要．（一）利用一元二次方程判别式求解一元二次方程ax2+bx+c=0,若方程有实数解，则判别式∆＝b2−4ac0,若方程无实数解，则∆0．求解物理问题时，如果列出方程数少于未知量，而经联立整理后是关于某一未知量的二次方程，则可根据该物理量是否存在实数解，利用判别式应满足的条件，列出一个新的关系式进行求解，使方程式的性质得到巧妙的应用．例1在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于l(l比2r大得多)时，两球之间无相互作用力．当两球心间的距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图3－3－1所示．欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件?分析和解A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后，A球的速度逐步减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐步减小．当A、B的速度相等时，两球间的距离最小．设从两球心间的距离等于l开始经过时间t后，A、B两球的位移分别为s1、s2，则21012Fsvttm，22122Fstm，两球刚好接触，s2-s1＝l-2r．3个方程中有s2、s1、v0、t4个未知量，由上述三个公式可整理成t的一元二次方程203204Ftvtlrm，要两球不发生接触，则t无实数解，有∆0，则20033(2)()4(2)0,4FFlrvlxvmm得．图3－3－1例2如图3－3－2所示，用细线把质量为M的圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动．若两个小环同时从大环顶部由静止开始向两边滑下，要使大环升起，其质量M应该多大？分析和解设大圆环的半径为R，并设当小环滑到与竖直方向的夹角为θ时的瞬时速度为v，此时大环对小环的弹力为N，如图3－3－3所示．隔离右环，有解得：N=mg（2－3cosθ），对于大环，受力情况如图3－3－4所示．要大环有上升的趋势，须满足2Ncosθ≥Mg．得2mg（2－3cosθ）cosθMg，将上式取等式极限情况，并整理得6mcos2θ－4mcosθ＋M＝0，上式关于cosθ的二次方程应有实数解，则∆0，即（－4m）2－23Mm0，得23Mm．（二）利用不等式的性质求解不等式的性质很多，常用到的重要性质是x1+x2…xn≥nnxxx21(xi0)．且当x1＝x2＝…＝xn时等式成立．对于求解极值的物理问题，若最后得出的式子中含有无法直接消去的未知量，可考虑利用不等式的上述性质，变求和式为求积式，或变求积式为求和式．若新的式子中未知量能够消解，难以处理的消元问题便迎刃而解了．例3一个质量为m的粒子与一个质量为M的初始的粒子正碰，碰撞后有一定的能量E被贮藏在M粒子中．问m粒子必须具有多大的初速度v0？分析和解设碰撞后，M、m两粒子的速度分别为v1、v2，则有mv0=mv1+Mv2，222012111222mvmvvMvE，列出的两个方程中有v0、v1、v23个未知量，由上述二式消去v1可得202()()2()222MmvEMmEMmEvmMvMmMm，即m具有的最小速度应为2()MmEMm．例4如图3－3－5所示，两带电量均为+q的点电荷相距2r，求两电荷连线的中垂线上上场强的最大值及最大场强的位置．分析和解在两电荷连线的中垂线上取一点P，由图3－3－5可知E1＝E2，因此有图3－3－2图3－3－3)cos1(mgRmv21RvmNcosmg22能量关系：动力学关系：TMMgNθθ图3－3－41122sin,.(/cos)PqEEEkr上述两戒有EP、E1、θ三个未知量，联立得12222222322222222sincos4coscos(sin)2241coscos4343[(sin),32299PkqkqErrkqkqkqrrr　　显然，当2212sincos,tan22即时，EP有极大值，此时max2243tan,.29PkqOPrrEr（三）利用配方方法求解配方法求极值是数学中常用的技巧之一，即将两数式中的自变量进行配方整理，化成与一常量差的平方，只要使自变量等于该常量，使能得到函数的极值．对于物理极值问题，当得出的式子中含有物理变量的二次方时，利用配方法既可消元，同时又可求出了物理极值．例5如图3－3－6所示，一根一端封闭的玻璃管，长l=1.00m，内有一段长h1=0.20m的水银柱．当温度为t1=27℃，开口端竖直向上时，封闭空气柱h2=0.50m．问温度至少升到多高时，水银柱才能从管中全部溢出？（外界大气压等于76cmHg）分析和解水银溢出的过程，同时是管内气体的减压膨胀过程，这一过程并非总是升温的过程，所以气体的最高温度并不在水银刚好全部从管中溢出时的末状态．设气体温度为T时，管内残留的水银柱高为x，如图3－3－7所示，将已知数据代入状态方程112212pVpVTT得(7620)520(76)(100)300SxxST．列出的方程中有x、T两个未知量，整理得2211(760024)[7744(12)]4841616Txxx（K），当T＝484K时，x＝12cm，即水银溢出的过程中，只有使管内气体的温度不低于x＝12cm时所需要的温度484K，才能使管内的水银全部溢出．（四）利用比例方法求解比例法的最大特点是不需要许多复杂的数学知识，而只要求从基本概念出发，弄清物理量之间的关系或掌握基本物理规律，它是一种重要的代数方法．高中物理中的公式大多是单项式，这就为我们运用比例法简洁求解物理问题提供了基础．)θPE2EE1θ(qrOrq图3－3－5图3－3－6x图3－3－7例6高度不同的三颗人造卫星，某一瞬时的位置恰好与地心在同一直线上，如图3－3－8所示.若此时它们的飞行方向相同，角速度分别ω1、ω2、ω3，线速度分别为v1、v2、v3，周期分别为T1、T2、T3.则（）A.ω1＞ω2＞ω3B.v1＜v2＜v3C.T1=T2=T3D.T1＞T2＞T3分析和解因三颗卫星都绕地球运行，则由可得答案为BD．例7小滑块沿固定在水平地面的斜面底端的100J的动能冲上斜面，滑至某一点时，动能减少了80J，重力势能增加了60J，继续上滑一段距离后又返回底端，求返回时的动能．分析和解设A到B动能减少了80J，重力势能增加了△EPAB=60J，由此可知这一过程中，滑块克服摩擦力做功WfAB=fSAB=20J，滑块运动到C点速度为0．由图3－3－9可知，直角三角形△ABD和△BCE相似，则上式分子和分母分别乘以f和mg有：．经B点时滑块还有动能20J，故它从B运动到C的过程中以按1：3的比例转化能量，即增加势能△EPBC=34EKB=15J，故滑块上升过程中需克服摩擦力做功WfAC=25J，返回A的过程中，滑块受到的摩擦力大小不变，方向沿斜面向上，仍需克服摩擦力做功25J，因此由A到C再返回A的全过程，Wf总=50J，返回A点滑块还有动能50J．（五）利用指数、对数方法求解在一些连续的物理过程中，某些物理量是按指数或对数规律变化的，这时要用指数、对数及数列的知识加以分析、表达和求解．例8在一个容积为V0的密闭容器中，装有压强为p0的某种气体，用活塞式抽气机抽其中的气体．在活塞往返运动中，抽气机气室的最小容积可视为零，最大容积为ΔV，且假设抽气过程中气体温度保持不变，则向n次后，密闭容器中气体的压强多大？分析和解每抽一次，密闭容器中的气体体积由V0变为V0＋ΔV，压强由p0变为pn+1，注意到此变化过程中气体质量保持不变，且温度也不变，故可用玻意耳定律，0010()pVpVV，0100VppVV．抽第二次时，1020()pVpVV，20021000VVpppVVVV．图3－3－8图3－3－9由此可知抽n次后气体压强为000nnVppVV．如果题意所要求的是，为使容器中的气体压强减为10－4p0，需要抽气几次？则需运用对数知识进行具体计算．二．渗透函数思想对于物理规律的描写有两种方法：其一为物理描写法；二为数学描写法．所谓物理描写就是对物理概念、物理定理、物理规律的文字说明；所谓数学描写法就是对物理概念、物理定理、物理规律的数学表达，即函数描写．函数是数学的一个重要的内容，函数方法是描述、分析、讨论物理量变化规律的重要方法．高中物理中所用到的函数主要有正比函数，反比函数，一次函数，二次函数和三角函数、指数函数等．变量在物理问题的研究中，虽然可以取不同的数值，但是它的取值范围往往有一定的限制，也就是说函数的定义域受物理条件的制约．因此，与之对应的函数值域往往也有一定限制．例9如图3－3－10所示．一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?分析和解设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为v，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：221cos2cosmvmgRvNmgmR解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=2sin23mg根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=2sin23mg．可以看出：当sin2θ=1,即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=mg23．例10如图3－3－11所示，质量为m的物体恰好能在倾角为α的斜面上匀速下滑，如在物体上施加一个力F使物体沿斜面匀速上滑，为了使得力F取最小值，这个力与斜面的倾斜角θ为多大?这个力的最小值是多少?如果要求力把物体从斜面的底端拉到最高点做功最少，求拉力的方向和所做的最小的功．(设斜面长l)分析和解物体从斜面的上端恰好能匀速下滑，由平衡条件得mgsinα＝μmgcosα，μ＝tgα．在F的作用下物体向斜面上运动的过程中，F的沿斜面分量及物体与斜面间的滑动摩擦力均与θ角的大小有关，在力F拉物体沿斜面匀速上升时，根据物体的平衡条件得(选沿斜面向上方向为x轴正方向，垂直于斜面向上为y轴正方向)：Fcosθ-mgsinα-f＝0，①OmgN图3－3－10图3－3－11Fsinθ+N–mgcosα＝0，②其中N为斜面对物体的支持力，且f＝μN＝tgαN．由①、②两式可以解得sincoscossinFmg，上式中分子(sinα+μcoα)mg是一个确定值，F的大小随分母变化．分母cosθ+μsinθ＝22211(cossin)11＝21sin(φ＋θ)，当sin(φ＋θ)＝1，即φ＋θ＝90°时，分母最大F最小．因为φ＝arctg1