第四章晶体的宏观对称对称的概念晶体对称的特点对称要素和对称操作对称型晶体的对称分类一、对称的概念Symmetry•是宇宙间的普遍现象•是自然科学最普遍和最基本的概念•是建造大自然的密码•是永恒的审美要素晶体学•物体(或图形)中相同部分之间有规律的重复。对称的概念晶体学二、晶体对称的特点由于晶体内部都具有格子构造,通过平移,可使相同质点重复,因此,所有的晶体结构都是对称的。晶体的对称受格子构造规律的限制,因此,晶体的对称是有限的,它遵循“晶体对称定律”。晶体的对称不仅体现在外形上,同时也体现在物理性质上。因此,由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的,格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。晶体学对称操作(symmetryoperation)•能够使对称物体(或图形)中的等同部分作有规律的变换动作(对称操作)•someactsthatreproducethemotiftocreatethepattern•Motif:thefundamentalpartofasymmetricdesignthat,whenrepeated,createsthewholepattern三、晶体的宏观对称要素和对称操作晶体学对称要素•对称要素(symmetryelement):在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素——点、线、面等。•对称要素种类–对称中心(centerofsymmetry)–对称面(symmetryplane)–对称轴(symmetryaxis)–旋转反伸轴(rotoinversionaxis)–旋转反映轴(rotoreflectionaxis)•对称要素的符号晶体学晶体学对称要素之对称操作对称操作=对应点的坐标变换(x,y,z)(X,Y,Z)orzayaxaZzayaxaYzayaxaX333231232221131211zyxZYX333231232221131211aaaaaaaaa对称变换矩阵对称要素符号对称轴旋转反伸轴对称要素一次二次三次四次六次对称中心对称面三次四次六次辅助几何要素直线点平面直线和直线上的定点对称操作围绕直线的旋转对于点的反伸对于平面的反映绕直线旋转及点的反伸基转角360˚180˚120˚90˚60˚120˚90˚60˚习惯符号L1L2L3L4L6CPL3iL4iL6i国际符号12346īm346等效对称要素L1iL2iL3+CL3+P图示记号˚或C双线或粗线宏观晶体的对称要素晶体学晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下:对称面—P操作为反映。可以有多个对称面存在,如3P、6P等。对称面晶体学对称面(m)对称操作之平面图解•对称面(mirror)–Reflectionacrossa“mirrorplane”reproducesamotif=symbolforamirrorm晶体学对称面(m)之对称操作•对称面(mirror)变换矩阵mzyxzyx100010001(m包含x、y轴)晶体学☆对称轴—Ln操作为旋转。其中n代表轴次,意指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角,关系为:n=360/。对称轴晶体学对称轴(Ln)之对称操作•对称轴二次(two-foldrotation)–=360o/2rotation–toreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPattern66晶体学对称轴(Ln)之对称操作•对称轴二次(two-foldrotation)–=360o/2rotation–toreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPatternMotifElementOperation66=thesymbolforatwo-foldrotation晶体学对称轴(Ln)之对称操作•对称轴二次(two-foldrotation)–=360o/2rotation–toreproduceamotifinasymmetricalpatternASymmetricalPatternMotifElement66=thesymbolforatwo-foldrotation第一步第二步晶体学对称轴(Ln)之对称操作•对称轴二次(two-foldrotation)–变换矩阵ASymmetricalPattern66第一步第二步1000cossin0sincos晶体学对称轴(Ln)对称操作之平面图解•(没有5-fold和6-fold的)666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold晶体学1000cossin0sincos变换矩阵:晶体的对称定律:由于晶体是具有格子构造的固体物质,这种质点格子状的分布特点决定了晶体中只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴,而不可能存在五次及高于六次的对称轴。为什么呢?1、直观形象的理解:垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网,且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。晶体学晶体对称定律2、数学的证明方法为:A1、A2、A3、A4、B1、B2为晶体中的阵点,相隔为a。•若B1B2=ma•a+2acos=ma•cos=(m-1)/21m=3,2,1,0,-1=0,60,90,120,180n=1,6,4,3,2(但是,在准晶体中可以有5、8、10、12次轴)晶体学☆对称中心—C操作为反伸。只可能在晶体中心,只可能一个。总结:凡是有对称中心的晶体,晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。对称中心晶体学对称心之对称操作•对称心(C,1)•假想的几何点,相对于这个点的反伸(x,y,z)(-x,-y,-z)•变换矩阵:100010001晶体学☆旋转反伸轴–Lin操作为旋转+反伸的复合操作。具体的操作过程:旋转反伸轴晶体学晶体学旋转反伸轴(Lin)之对称操作•旋转反伸轴•围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸•=对称轴+对称心变换矩阵:1000cossin0sincos•种类•Li1=C•Li2=P•Li3=L3+C•Li4•Li6=L3+P晶体学旋转反伸轴(Lin)对称操作之图解晶体学•值得指出的是,除Li4外,其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替,其间关系如下:Li1=C,Li2=P,Li3=L3+C,Li6=L3+P•但一般我们在写晶体的对称要素时,保留Li4和Li6,而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4不能被代替,Li6在晶体对称分类中有特殊意义。旋转反伸轴晶体学四、32个对称型晶体形态中,全部对称要素的组合,称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说,当强调对称要素时称对称型,强调对称操作时称点群。为什么叫点群?因为对称型中所有对称操作可构成一个群,符合数学中群的概念,并且在操作时有一点不动,所以称为点群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律,推导出晶体中可能出现的对称型(点群)是非常有限的,仅有32个。•晶族(crystalcategory)的划分根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族–高级晶族(highercategory)–中级晶族(intermediatecategory)–低级晶族(lowercategory)•问题:–什么是高次轴?–最多有多少高次轴?晶体学五、晶体的对称分类1、晶族、晶系、晶类的划分,见表3-4。晶体的对称分类•晶系(crystalsystem)的划分根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低以及它们数目的多少,总共划分为如下七个晶系,分属于三个晶族–等轴晶系(isometricsystem),又称立方晶系(cubicsystem)–六方晶系(hexagonalsystem)–四方晶系(tetragonalsystem)–三方晶系(trigonalsystem)–斜方晶系(orthorhombicsystem),亦称正交晶系–单斜晶系(monoclinicsystem)–三斜晶系(triclinicsystem)晶体学对称型晶族晶系对称特点对称要素总和国际符号晶体实例L11高岭石三斜无L2和P**C1钙长石L22镁铅矾Pm斜晶石单斜L2和P均不多于一个**L2PC2/m石膏3L2222泻利盐L22Pmm2异极矿低级正交斜方无高次轴L2和P的总数不少于三个所有的对称要素必定相互垂直或平等**3L23PCmmm重晶石L33细硫砷铅矿*L3C3白云石*L33L232а-石英L33P3m电气石三方唯一的高次轴为三次轴**L33L23PC3m方解石L44彩钼铅矿L4i4砷硼钙石*L4PC4/m白镥矿L44L2422镍矾L44P4mm羟铜铅矿L4i2L22P42m黄铜矿四方(正方)唯一的高次轴为四次轴**L44L25PC4/mmm锆石L66霞石+L6I6磷酸氢二银*L6PC6/m磷灰石L66L2622β-石英L66P6mm红锌矿L6i3L23P6m2蓝锥矿中级六方必定有且只有一个高次轴唯一的高次轴为六次轴除高次轴外如有其他对称要素存在时,它们必定与唯一的高次轴垂直或平等**L66L27PC6/mmm绿柱石3L24L323香花石*3L24L33PCm3黄铁矿3L43L36L2432赤铜矿(?)*3L44L36P43m黝铜矿高级等轴立方高次轴多于一个必定有四个L3除4L3外,必定还有三个相互垂直的二次轴或四次轴,它们与每一个L3均以等角度相交**3L44L36L29PCm3m方铅矿2、对称型的国际符号对称型的国际符号很简明,1)它不将所有的对称要素都写出来,2)并且可以表示出对称要素的方向性,3)但它不容易看懂.特点:凡是可以派生出来的对称要素都省略了。对称轴以1,2,3,4,6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直,则两者之间以斜线或横线隔开,如L2PC以2/m表示,L4PC以4/m表示(由此可以看出,对称中心C就不必再表示出来了,因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。晶体学具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素,对称意义完全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就行了。不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同。对称型的国际符号晶体学点群的国际符号4/mmm123晶系三个位所表示的方向(依次列出)等轴ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]斜方abc[100][010][001]单斜b[010]三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b[001][100][210]112332表4-2:晶体学