工程制图基础

第1章点、直线、平面的投影3第1章点、直线、平面的投影在工程图样中，为了在平面上表达空间物体的形状，广泛采用投影的方法。本章介绍投影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素（点、直线和平面）的方法。1.1投影法的基本知识在日常生活中，物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。人们根据这一自然物理现象，创造了用投影来表达物体形状的方法，即：光线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形,这种现象就叫投影（projection）。这种确定空间几何元素和物体投影的方法，称为投影法（projectionmethod）。投影法通常分为中心投影法（perspectiveprojectionmethod）和平行投影法(parallelprojectionmethod)两种。1.1.1中心投影法如图1-1所示，设一平面P（投影面）与光源S（投影中心）之间，有一个△ABC（被投影物）。经投影中心S分别向△ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC（称为投射线），并与投影面P交于a、b、c三点。则a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影，△abc就是空间△ABC在P平面上的投影。投影面投射线被投影物PabBc投影中心SAC投影图1-1中心投影法这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。中心投影法的投影中心位于有限远处，该投影法得到的投影图形称为中心投影。由于中心投影法得到的物体投影的大小与物体的位置有关，如果改变物体（△ABC）与投工程图学应用教程4影中心（S）的距离，投影（△abc）的大小也随之改变，即不能反映空间物体的实际大小。因此，中心投影法通常不用于绘制机械图样，而用于建筑物的外观透视图等。1.1.2平行投影法如图1-2所示，若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处，则所有投射线将趋于相互平行。这种投射线相互平行的投影方法，称为平行投影法。平行投影法的投影中心位于无穷远处，该投影法得到的投影图形称为平行投影。投射线的方向称为投影方向。由于平行投影法中，平行移动空间物体，即改变物体与投影面的距离时，它的投影的形状和大小都不会改变。平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同又分为正投影法（Orthogonalmethod）和斜投影法（Obliqueprojectionmethod）两种：当投影方向（即投射线的方向）垂直于投影面时称为正投影法，如图1-2(a)所示；当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法，如图1-2(b)所示。正投影法得到的投影称为正投影，斜投影法得到的投影称为斜投影。BBabPcbaACSAPcCS(a)正投影法(b)斜投影法图1-2平行投影法正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。本教材后续章节中提及的投影，若无特殊说明，均指正投影。1.2点的投影点(point)是构成形体最基本的几何元素,一切几何形体都可看作是点的集合。点的投影(pointprojection)是线(line)、面(surface)、体（body）的投影基础。1.2.1点的单面投影如图1-3所示，已知投影面P和空间点A，过点A作P平面的垂线（投射线），得唯一投影a。反之，若已知点的投影a，就不能唯一确定A点的空间位置。也就是说，点的一个投影不能确定点的空间位置，即：单面投影不具有“可逆性”。因此，常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间，然后向这些投影面作投影，形成多面正投影。第1章点、直线、平面的投影5A1(a1)aASP图1-3点的单面投影及其空间位置关系1.2.2点的两面投影如图1-4(a)所示，设置两个互相垂直的平面为投影面（projectionplane）,其中一个是正立投影面（verticalprojectionplane）用V表示，另一个是水平投影面（horizontalprojectionplane）用H表示，V面和H面组成两投影面体系。两投影面的交线为投影轴（projectionaxis）用OX表示。aHaaa'XaxVAOXVOa'Xa'OaxaxH(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图图1-4点在V、H两面体系中的投影在两面投影体系中，设一空间点A，从A点分别向H面、V面作垂线（投射线），其垂足分别是点A的水平投影a和正面投影a。由于Aa⊥V、Aa⊥H，故投射面Aaa⊥OX轴并交于点aX，因此，aaX⊥OX、aaX⊥OX。如图1-4(a)中A点投影a、a分别在H面、V面上，要把两个投影表示在一个平面上，按照国家制图标准规定：V面不动，将H面绕OX轴、按图1-4(a)中所示箭头的方向，自前向下旋转90°与V面重合，如图1-4(b)所示，称为点的两面投影图。由于投影面是无限的，故在投影图上通常不画出它的边框线，这样便得到如图1-4(c)所示的点的两面投影图。从图1-4(a)和图1-4(c)，根据立体几何知识，可以知道平面AaaXa为一矩形，展开后aa形成一条投影连线并与OX轴交于点aX，且aa⊥OX轴。同时，aaX=Aa，反映点A到H面的距离；aaX=Aa，反映点A到V面的距离。工程图学应用教程6这里需要说明的是：规定空间点用大写字母表示（如A），点的水平投影用相应的小写字母表示（如a），点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示（如a）。从上面可以概括出点的两面投影特性：（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即：aa⊥OX；（2）点的正面投影到OX轴的距离等于点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离等于点到V面的距离，即：aaX=Aa，aaX=Aa。1.2.3点的三面投影虽然点的两面投影已能确定该点的位置，但为了更清楚地图示某些几何形体，在两投影面体系的基础上，再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面（profileprojectionplane）,用W表示，如图1-5(a)所示。三个投影面之间两两相交产生三条交线，即三条投影轴OX、OY、OZ，它们相互垂直并交于O点，形成三投影面体系。YHXaxa'VaAOaayZazXaVa'YHaYHOaYWYWZWaaXaXa'OZaWHaxazaYHYHaYWYW(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图图1-5点在V、H、W三面体系中的投影如图1-5(a)所示：从A向W面作垂线（投射线），垂足即为A点的侧面投影，记作a。这里需要指出的是，规定点的侧面（W面）投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。在三投影面体系中，三条投射线每两条可以确定一个投射面，即平面Aaa、Aaa、Aaa,它们分别与三投影轴OX、OY、OZ交于点aX、aY、aZ。为了将三个投影a、a、a表示在一个平面上，参照两面投影体系，根据国家制图标准规定：V面不动，H面、W面按图1-5(a)中箭头所示方向分别绕OX轴自前向下旋转90°、绕OZ轴自前向右旋转90°。这样，H面、W面与V面就重合成一个平面。这里投影轴OY被分成YH、YW两支，随H面旋转的OY轴用OYH表示，随W面旋转的OY轴用OYW表示，且OY轴上的aY点也相应地用aYH、aYW表示，如图1-5(b)。与两面投影体系一样，投影图上不画边框线，得到空间点A在三投影面体系中的投影图，如图1-5(c)。在投影图中，OY轴上的点aY因展开而分成aYH、aYW。为了方便作图，可以过O点作一条45°的辅助线，aaYH、aaYW的延长线必与该辅助线相交于一点。从图1-5(a)和图1-5(c)，同样，根据立体几何知识，可知：展开后aa形成一条投影连线并与OZ轴交于点aZ，且aa⊥OZ轴。同时，aaX=aaYW=Aa，反映点A到H面的距离；aaZ=aaYH=Aa，反映点A到W面的距离；aaZ=aaX=Aa，反映点A到V面的距离。第1章点、直线、平面的投影7从上面可以概括出点的三面投影特性：（1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：aa⊥OX，aa⊥OZ；（2）点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离，即：aaX=aaYW=Aa，aaZ=aaYH=Aa，aaZ=aaX=Aa。利用点在三投影面体系中的投影特性，只要知道空间一点的任意两个投影，就能求出该点的第三面投影（简称为二求三）。1.2.4点的三面投影与直角坐标的关系如图1-6(a)，若将三投影面当作三个坐标平面，三投影轴当作三坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点，则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。因此，空间点A到三个投影面的距离，也就是A点的三个直角坐标X、Y、Z。即，点的投影与坐标有如下关系：点A到W面的距离Aa=aaZ=aaYH=OaX=XA；点A到V面的距离Aa=aaZ=aaX=Oay=YA；点A到H面的距离Aa=aaX=aaYW=OaZ=ZA。由此可见，若已知A点的投影（a、a、a），即可确定该点的坐标，也就是确定了该点的空间位置，反之亦然。从图1-6(b)可知，点的每个投影包含点的两个坐标，点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。aYaYaYHaYHaZAXaXVa'OaaZZXaXa'OaYWZaYWXWHYZYXZ(a)立体图(b)投影图图1-6点的三面投影与直角坐标【例】已知A点的直角坐标为（15，10，20），求点A的三面投影（图样中的尺寸单位为mm时，不需标注计量单位）。〖解〗步骤如下：（1）作相互垂直的两条细直线为投影轴，并且过原点O作一条45°辅助线平分∠YHOYW。依据XA=OaX，沿OX轴取OaX=15mm，得到点aX，如图1-7(a)；（2）过点aX作OX轴的垂线，在此垂线上，依据ZA=aaX，从aX向上取aaX=20mm，得到点A的正面投影a；依据YA=aaX，从aX向下取aXa=10mm，得到点A的水平投影a，如图1-7(b)；（3）现已知点A的两面投影a、a，可求第三投影。即：过a作直线垂直于OYH并与45°工程图学应用教程8辅助线交于一点，过此点作垂直于OYW的直线，并与过a所作OZ轴的垂线aaZ的延长线交于a，a即为点A侧面投影，如图1-7(c)。(也可不作辅助角平分线，而在aaZ的延长线上直接量取aZa=aaX而确定a)。aXYHOYWZaXOaaXXYHOYWa'Za'aZaZX15aXYHYW2010(a)(b)(c)图1-7由点的坐标求其投影1.2.5两点的相对位置及重影点1.两点的相对位置空间两点的相对位置，是指它们之间的左右、前后、上下的位置关系，可以根据两点的各同面投影之间的坐标关系来判别。其左右关系由两点的X坐标差来确定，X值大者在左方；其前后关系由两点的Y坐标差来确定，Y值大者在前方；其上下关系由两点的Z坐标差来确定，Z值大者在上方。在图1-8(a)中，可以直观地看出A点在B点的左方、后方、下方。在图1-8(b)中，也可从坐标值的大小判别出同样的结论。bBAbaYOaXaVb'a'Za'bYHOYWZb'abWH(a)立体图(b)投影图图1-8两点的相对位置2.重影点(overlappingpoints)若空间的两点位于某一个投影面的同一条投射线上，则它们在该投影面上的投影必重合，这两点称之为对该投影面的重影点。重影点存在着在投影重合的投影面上的投影有一个可见，而另一个不可见的问题。如图1-9(a)，A、B两点的水平投影重合，沿水平投影方向从上往下第1章点、直线、平面的投影9看，先看见A点，B点被A点遮住，则B点不可见。在投影图上若需判断可见性，应将不可见点的投影加圆括号以示区别，如图1-9(b)。需要指出的是空间两点只能有一个投影面的投影重合，重影点的可见性判断方法如下：（1）若两点的水平投影重合，称为对H面的重影点，且Z坐标值大者可见；（2）若两点的正面投影重合，称为对V面的重影点，且Y坐标值大者可见；（3）若两点的侧面投影重合，称为对W面的重影点，且X坐标值大者可见。上述三原则，也可概括为：前遮后，上遮下，左遮右。YWOXOXa(b)BYba(b)YHa'Vb'AZaa'b'ZabWH(a)立体图(