2015北京各区中考数学二模26、27、28题汇编(带答案)

1一、2015北京各区中考数学二模26题汇编26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20(0)kxxk成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为2kxx，再通过研究函数2ykx的图象与函数yx的图象（如图）的交点，使问题得到解决．xyy=|x|fx()=x初始化常规坐标系三角坐标系显示网格线隐藏刻度值隐藏坐标轴显示控制点–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345oxyfx()=x初始化常规坐标系三角坐标系显示网格线隐藏刻度值隐藏坐标轴显示控制点–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345o请回答：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为_______；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式240()xaax＞0只有一个整数解，求a的取值范围．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，∠ACB=30º，BE⊥AC于点E，且=CDEACB．如果AB=1，求CD边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△相似，CD的长度等于，线段CD与线段的长度相等；他进一步思考：如果ACB（是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD=；（用含的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt△OMN中，∠MON=90º，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得NPQONM．2请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）26.阅读材料如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A,则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.AOPAOPBC图1图2证明：延长PO交⊙O于点B，显然PBPA.如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC.,,,,POPCOCPOPAOAOAOCPAPC且∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.由此可得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．3图3(2)如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△MNA'，连接CA',①求线段A’M的长度;②求线段CA'长的最小值.26．问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，32，17，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．CBA图1图2（1）请你直接写出△ABC的面积________；26．阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC中，ACAB，45BAC，22BC，BCAD于点D，求AD的长．图图4xyPBAOGEFDDABBACC图1图24小玲发现：分别以AB，AC为对称轴，分别作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，得到正方形AEGF，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD的长．（如图2）请回答：BG的长为，AD的长为；参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点0,3A，4,0B，点P是△OAB的外角的角平分线AP和BP的交点，求点P的坐标．26．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=4，BD=6，∠AOB=30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD的面积为（用含m的式子表示）．（2）求四边形ABCD的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=a，BD=b，∠AOB=（0°＜＜90°），则四边形ABCD的面积为（用含a、b、的式子表示）．26.【阅读学习】刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα=BCAC=13．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=10x．作CD⊥AB于D，求出CD=（用含x的式子表示），可求得sin2α=CDOC=．图1图2图35【问题解决】已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ=12，求sin2β的值.图12ααOADCB图2βMNPO26．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD各边都平行于坐标轴，且A（-2，2），C（3，-2）．对矩形ABCD及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a，纵坐标乘以b，将得到的点再向右平移k（0k）个单位，得到矩形''''ABCD及其内部的点（''''ABCD分别与ABCD对应）．E（2，1）经过上述操作后的对应点记为'E．（1）若a=2，b=-3，k=2，则点D的坐标为，点'D的坐标为；（2）若'A（1，4），'C（6，-4），求点'E的坐标．26．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.如果3AFEF，求CDCG的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，那么可以得到△BAF∽△HEF．请回答：（1）AB和EH之间的数量关系是，CG和EH之间的数量关系是，CDCG的值为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：xyACDBO6如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果2ABCD，23BCBE，求AFEF的值．HGFECDBAHGFECDBAFECBADFECBAD图1图226.在平面内，将一个图形G以任意点O为旋转中心，逆时针．．．旋转一个角度θ，得到图形'G，再以O为中心将图形'G放大或缩小得到图形''G，使图形''G与图形G对应线段的比为k，并且图形G上的任一点P，它的对应点''P在线段'OP或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为Oθ,k，其中点O叫做旋转相似中心，θ叫做旋转角，k叫做相似比.如图1中的线段''OA便是由线段OA经过302O,得到的.（1）如图2，将△ABC经过☆901,后得到△'''ABC，则横线上“☆”应填下列四个点00O，、01D，、0E，-1、12C，中的点.（2）如图3，△ADE是△ABC经过Aθ,k得到的，90EAB∠，12cosEAC∠则这个图形变换可以表示为,A.图2yx-111B'A'C'EDBACO图3EDABC图130°A'A''OA726．如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6，3AFEF，求DG的长．小米的发现，过点E作EHAB∥交BG于点H（如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG=.如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是射线DM上的一点，连接BE和AC相交于点F，若BCaAD，CDbCE，求BFEF的值（用含,ab的代数式表示）.26．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．（2）如图③，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①利用尺规作出△ABC的自相似点P（不写出作法，保留作图痕迹）；②如果△ABC的内心P是该三角形的自相似点，请直接写出该三角形三个内角的度数．图1GFEBCAD图2HGFEBCAD图3MADBCBBCADPE①②ACBC③A8答案26.(本小题满分5分)解：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为1；………………………1分（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为2；………………2分（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为1．…..………………3分解决问题：将不等式240()xaax＞0转化为24()xaax＞0，研究函数2(0)yxaa与函数4yx的图象的交点.∵函数4yx的图象经过点A(1,4)，B(2,2)，函数2yx的图象经过点C(1,1)，D(2,4)，若函数2(0)yxaa经过点A(1,4)，则3a，……………4分结合图象可知，当03a时，关于x的不等式24(0)xaax只有一个整数解．也就是当03a时，关于x的不等式240()xaax＞0只有一个整数解…5分26.解：（1）CAD，3BC.……………………………………………………………3分1tan.……………………………………………………………………………4分（2）方法1：如图8，以点N为圆心，ON为半径作圆，交直线l于点1P，2P，则点1P，2P为符合题意的点.………………………………………………5分方法2：如图9，过点N画NO的垂线1m，画NQ的垂直平分线2m，直线1m与2m交于点R，以点R为圆心，RN为半径作圆，交直线l于点1P，2P，则点1P，2P为符合题意的点.………………………………………5分xyqx()=x2+3hx()=4xgx()=x2fx()=x初始化常规坐标系三角坐标系显示网格线隐藏刻度值隐藏坐标轴显示控制点–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345CDBAo926.151.2AP（）分L（2）①',=1.3AMNAMNAMAM沿MN所在的直线翻折得到’分QVVL②由①知，点A’在以点M为圆心，1为半径的圆上……4分连接CM交圆M于点A’，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H.2222t123sin.2t35722'715RMHDDHDMCOSHDMMHDMHDMRCHMMHCHACVVLL在中，，在中，CM=，分26.解：（1）△ABC的面积是4.5；…….2分（2）如右图:…….4分△MNP的面积是7.…….5分26．解：BG的长为2，AD的长为22；…………………2分如图，过点P分别作xPC轴于点C，yPD轴于点D，MPNxyECDPBAO10ABPE于点E…………………3分∵AP和BP是△OAB的外角的角平分线∴CAPEAP，EBPDBP∴PDPEPC∴四边形OCPD是正方形，AEAC，BEBD…………4分∴DOPDCPOC∵0,3A，4,0B∴5AB∴12BOABOAODOC∴6ODOC,∴6PDCP∴6,6P……………………5分26.解：（1）32m；……………………………………………………………………………1分（2）由题意可知∠AEO=90°．∵AO=m，∠AOB=30°，∴AE=12m．∴S△ABD=mAEBD2321．同理，CF=1(4)2m-．∴S△BCD=mCFBD23621．…………………………………………………2分∴S四边形ABCD=S△ABD＋S△B