第八章流体力学

第八章相似理论与量纲分析§8.1相似理论§8.2量纲分析§8.1相似理论流体力学的研究方法主要有三种：理论分析、实验研究、数值模拟其中，流体力学实验是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。本章将探讨流体力学实验的基础理论：相似理论量纲分析§8.1相似理论一、流动相似(力学相似)为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。§8.1相似理论1、几何相似lp1lp3lp2θp3θp2θp1lm1lm3θm3θm2θm1lm2几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。§8.1相似理论式中称为长度比尺，则面积比尺体积比尺lpm3p3m2p2m1p1mllllllll2l2p2mpmAllAA3l3p3mpmVllVVp3m3p2m2p1m1，，l§8.1相似理论2、运动相似运动相似：指模型和原型流动的速度场相似，即两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。式中称为速度比尺。up2m2p1m1uuuuum1Dmum2up1Dpup2u§8.1相似理论由于各对应点速度成同一比例，相应断面的平均速度必然有同样的比尺式中称为时间比尺。同理，其它运动学物理量的比尺2tltvpmaaapmpmppmmttvvtvtv1t2l1t3lQtlmppmppmmpmuvtltltltlvvpmtttv的单位是m/sa的单位是m/s2Q的单位是m3/s的单位是m2/s§8.1相似理论3、动力相似动力相似：指模型和原型流动对应点处质点所受同名力的方向相同，大小成同一比例。PmTmFm=mamGmGpFp=mapTpPplp2lp1lm2lm1§8.1相似理论所谓同名力，指具有相同物理性质的力，如粘滞力T、压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp，则FpmpmpmpmFFGGPPTTpm称为密度比尺。§8.1相似理论同样，可写出其它力学量的比尺，如2v3llFM3v2lNvl2vAFp2v2laFFFmppmmpmamam§8.1相似理论模型和原型流动只要满足上述的几何相似、运动相似和动力相似条件，则两流动相似。而动力相似又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，换句话说，两流动在几何相似、运动相似的条件下，满足各相似准则，则模型和原型流动相似。§8.1相似理论•几何相似是运动相似和动力相似的前提；•动力相似是决定流动相似的主要因素；•运动相似是几何相似和动力相似的表现。二、相似准则流动相似的本质是原型和模型被同一个物理方程所描述，这个物理方程即相似准则方程。§8.1相似理论1、弗劳德准则——重力相似要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要求有当流动受重力G作用时，由动力相似条件有重力代入上式整理，约简后得2p2ppp2m2mmmvlρGvlρG3glgVGpp2pmm2mlgvlgv2p2ppp2m2mmmvlρFvlρF§8.1相似理论令为无量纲数，称为弗劳德数。glvFr2上式可用弗劳德数表示为上式称为弗劳德相似准则，该式表明两流动重力相似时，模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。2、欧拉相似准则——压力相似当流动受压力P作用时，由动力相似条件2p2ppp2m2mmmvlρFvlρFpmFrFr2p2ppp2m2mmmvlρPvlρPpp2pmm2mlgvlgv§8.1相似理论2plpAP压力代入上式整理，约简后得令为无量纲数，称为欧拉数。在有压流动中，起作用的是压差Δp，故前式可用欧拉数表示为2ppp2mmmvpvp2vpEu2vpEupmEuEu§8.1相似理论上式称为欧拉相似准则，该式表明两流动压力相似时，模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中所受压力和惯性力之比。3、雷诺相似准则——粘性力相似当流动受粘滞力T作用时，由动力相似条件有2p2pp2m2mm2v2lFpmpmvlρvlρFFTT粘滞力lvdyduAT§8.1相似理论代入上式整理，约简后得式中为无量纲数，即前已介绍过的雷诺数Re。上式用雷诺数表示为上式称为雷诺相似准则，该式表明两流动的粘滞力相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。因惯性力I＝－F，故雷诺数反映了流动中惯性力和粘滞力之比。pppmmmlvlvvlpmReRe§8.1相似理论几点说明：弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则.一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则.§8.1相似理论三、近似模型法模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发生的流动现象。1.模型律的选择要使模型和原型流动完全相似，要求各相似准则同时满足。但要同时满足各相似准则很困难，甚至是不可能的。比如，要同时满足雷诺相似准则和弗劳德相似准则，要求23l§8.1相似理论（1）若模型与原型采用同种流体，温度也相同。则，代入上式得模型和原型的尺寸一样，实验失去了意义。（2）若模型和原型采用不同流体，长度比尺则若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的1/31.62的流体作为实验流体，这样的流体是很难找到的。1pm，1l101l31.62pm23l§8.1相似理论模型律的选择：选择一个合适的相似准则来进行模型设计，模型律选择的原则就是保证对流动起主要作用的力相似，而忽略次要力的相似。例如：堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动、自然界中的江、河、溪流等，重力起主要作用，应按弗劳德数相似准则设计模型；有压管流、潜体绕流以及流体机械、液压技术中的流动，粘滞力起主要作用，应按雷诺数相似准则设计模型；对于可压缩流动，应按马赫相似准则设计模型。§8.1相似理论2.模型设计进行模型设计，通常是先根据原型要求的实验范围、现有实验场地的大小、模型制作和量测条件，定出长度比尺。再根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选择模型律，并按所选择的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。§8.1相似理论例8-1已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差，试求100m长的输油管两端的压强差？解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则因，上式可简化为5cmgpmmmpppmmmlvlvpmpmvv§8.1相似理论流量比尺，所以模型中水的流量为（2）流动的压降满足欧拉准则因，则5m长输油管两端的压强差为100m长的输油管两端的压强差v2lvQ3mmpp0.013QQ0.180.018m/s0.132ppp2mmmvpvppm2m2pmmmpppggvvgpgppmgg22ppm22ppmmmpvp10.190.055mggv1.0195100100m5（油柱）（油柱）§8.2量纲分析及应用一、量纲和谐原理1、量纲分析的基本概念（1）量纲流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成：一是自身的物理属性，二是量度单位。我们把物理量的属性称为量纲或因次，通常用[x]表示物理量x的量纲。（2）基本量纲和导出量纲§8.2量纲分析及应用基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲共有三个：长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为导出量纲。任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三个基本量纲的指数乘积来表示，即γβαMTLx§8.2量纲分析及应用2.基本量纲：具有独立性、唯一性在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3力dimF＝MLT－2压强dimp=ML－1T－1§8.2量纲分析及应用3.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物理量作为基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。基本物理量独立性判别任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理量相互独立。§8.2量纲分析及应用（3）无量纲量各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理量，则称x为无量纲量。4.量纲和谐原理量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。1MTLx000§8.2量纲分析及应用凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程用除其余各项，可得无量纲方程：ghpp0gh10ghpghp§8.2量纲分析及应用二、量纲分析法在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种为瑞利法；一种为π定理。1.瑞利法若某一物理过程与n个物理量有关，即由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数乘积形式，因此上式中任一物理量xi可以表示为其它物理量的指数乘积形式，即0xxxxxxfn1ii1-i21，，，，，，n1i1-i21ana1ia1-ia2a1ixxxxkxx§8.2量纲分析及应用式中k为常数，a1、a2……为待定指数。上式的量纲式为n1i1-i21ana1ia1-ia2a1ixxxxxx根据量纲和谐原理，确定待定指数a1、a2……，即可求得该物理过程的方程式。例8-3已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构.§8.2量纲分析及应用解：假定式中k为无量纲常数。其中，各物理量的量纲为：LdTMLMLLTVcdim,dimdim,dim1131dkVc代入指数方程，则得相应的量纲方程LTMLMLLT)()(1131根据量纲齐次性原理，有§8.2量纲分析及应用1:31:0:TLM解上述三元一次方程组得：1,1,1故得：dkVc其中常数k需由实验确定.§8.2量纲分析及应用2.π定理π定理的基本内容：若某一物理过程包含有n个物理量，存在函数关系其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由（n－m）个无量纲项所表达的关系式来描述。即0xxxfn21，，，0Fm-n21，，，§8.2量纲分析及应用式中为（n－m）个无量纲数，因为这些无量纲数是用π来表示的，所以称此定理为π定理。π定理的