8梁的弯曲应力和强度计算

第六章梁的弯曲应力1、弯曲应力的组成QMtsQdAtdAyMs2、应力、内力的关系一、引言Q二、纯弯曲梁横截面上的正应力1、纯弯曲概念AC、BD段：Q＝0M＝0CD段：Q＝0M＝0纯弯曲剪切弯曲（横力弯曲）00st00stQ2、实验现象与假设横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短（1）实验现象单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，只受轴向拉伸与压缩。平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴旋转了一个角度。中性层（2）假设3、正应力计算公式各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比〖1〗几何变形关系横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律〖2〗物理关系弹性范围内，单向应力假设〖3〗正应力计算公式梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：IZ－截面对中性轴的惯性矩M－所求截面的弯矩y－所求应力到中性轴的距离Z轴（中性轴）——形心轴矩形：IZ=bh3/12圆形：IZ=πD4/641）M、y符号代入公式2）直接观察变形4、正负号确定〖1〗适用范围:平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、线弹性材料〖2〗推广:②细长梁(l/h5)；①至少有一个对称轴的截面；5、适用范围及推广工程上关心的是极值应力：只与截面形状、尺寸有关抗弯截面模量对剪切（横力）弯曲：矩形：圆形：Dbzh6、最大正应力空心圆截面：4344max132264DDdDyIWZZDd外径为D，内径为d,例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm，B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。解：（1）作弯矩图，求最大弯矩mkNqlM4.1422.120222max（2）计算截面的惯性矩4337361212cmbhBHIZ（3）计算应力MPaHIMZ4.1172101210736104.14246maxmax外sMPahIMZ3.78210810736104.14246maxmax内s一、填空题弯曲正应力计算11.若梁的横截面上的内力只有弯矩作用，则称此梁为________梁，此时截面上只有________应力，而________应力为零。纯弯曲正切一、单项选择题14．矩形截面受纯弯曲作用的梁，横截面上的正应力分布规律是（）D弯曲正应力中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。1.基本假设：(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。(2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。中性层3.正应力计算公式：4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。内容回顾2.中性轴Z：三、计算题弯曲正应力计算6、简支梁受集中力P=20kN作用，梁截面形状，尺寸如图，它的轴惯性矩为IZ=7.6×106mm4，试求此梁最大拉应力。解：（1）作弯矩图，求最大弯矩mkNM5.7max（2）计算最大拉应力因危险截面的弯矩为正，故截面下端受最大拉应力：ZTIMmaxmaxs88MPa8.8688106.7105.766三、计算题弯曲正应力计算27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求梁中的最大正应力.解：（1）作剪力图、弯矩图（2）求最大正应力mkNM6maxMPabhMWMZ962maxmaxmaxs二、弯曲梁的正应力强度计算1、正应力强度条件bh对于脆性材料[s+][s-]，为节约材料，以达到充分利用，常设计成上下不对称截面。（2）上下不对称截面（1）上下对称截面三方面强度计算①校核强度②设计截面③确定许可荷载2、正应力强度计算ZWMmaxmaxss安全s不安全smaxMWZsZWMmax例、矩形截面外伸梁，所受荷载如图，截面高为250mm，宽为100mm。已知[s]=40MPa,试校核梁的强度。解：1、作内力图，求最大弯矩mkNM.20maxmkNM.10max2、求最大正应力MPaWMz2.196250100102026maxmaxs3、校核强度max19.240MPaMPss在正、负弯矩作用下，截面抗弯模量相同zWMmaxmaxs安全弯曲正应力强度计算六、综合计算题矩形截面外伸梁受力如图所示，已知材料的容许应力［σ］=28MPa，P=38kN，M=10kN·m，试校核梁强度。解：（1）作内力图mkNM14max（2）校核梁的强度ssMPabhMWMZ3162maxmaxmax∴不安全弯曲正应力强度计算六、综合计算题如图所示一圆形截面木梁，木材的容许应[σ]=10MPa，试选择圆木的直径d。解：（1）作弯矩图mkNM3max（2）求直径dss3maxmaxmax32dMWMZmmMd145323maxs取d=145mm。正应力强度计算1.最大正应力：2.弯曲正应力强度条件：3.强度计算：三方面①校核强度②设计截面③许可荷载内力图找危险截面确定危险点最大应力Ⅱ新的问题剪应力强度计算内容回顾4.步骤：三、弯曲剪应力由于分布复杂，与截面形状有关，故对不同截面分别研究。1、矩形截面梁（1）假设①横截面上各点的剪应力方向均平行于截面侧边，即t方向与Q相同②剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等远的各点处t大小相同QttQZZbIS*Qt（2）剪应力公式Q－所求截面的剪力b－所求应力处截面宽度IZ－绕中性轴的惯性矩弯曲剪应力计算公式：SZ＊－所求点一侧部分A＊对中性轴的静矩Q、b、IZ为常数Qtttmax二次抛物线（3）剪应力分布规律ZZbIS*Qt2234Q6yhbhtAbh2Q32Q3maxt最大剪应力为平均剪应力的1.5倍（1）分工：翼缘主要承担弯矩腹板承担95％~97％的剪力（2）公式：（3）规律：（4）最大剪应力：若bB时，则即按平均剪应力计算。剪应力沿腹板高度仍按抛物线变化。2、工字型截面梁ZZbIS*QtZZbISy*maxmaxQ),0(tbhQt截面边缘上各点剪应力与圆周相切，矩形截面上各点剪应力与Q平行的假设已不适用。但最大剪应力仍发生在中性轴3、圆形截面梁2max3Q43Q4RAt4、圆环形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴AQ2maxt例题：图示矩形截面简支梁，试求最大剪力所在截面上a、b、c各点处的剪应力。解：（1）作剪力图kN25.5Qmax（2）计算剪应力4631036.58121mmbhIZ33*10336)2/4050()5090(120mmyAScZaMPabISZZaa25.0Q*maxt（2）计算剪应力0btAc2Q3maxtMPa36.018012021025.533弯曲应力问题一、填空题（每空1分）截面上的最大切应力发生在________。11.矩形截面弯曲切应力公式为ZZQbISF*t中性轴11.矩形截面梁受集中力P作用，在图示各点中，最大拉应力在________点，最大压应力在________点，最大切应力在________点。弯曲应力问题一、填空题（每空1分）421弯曲应力问题二、单项选择题（每小题1分）11.梁发生平面弯曲时其横截面绕（）旋转。A.梁的轴线B.横截面上的纵向对称轴C.中性层与纵向对称面的交线D.中性轴D弯曲应力问题二、单项选择题（每小题1分）bmaxamaxtt11.(a)、(b)两根悬臂梁的荷载，长度都一样，而截面直径不一样，求它们的最大弯曲切应力之比A.4∶1B.12∶1C.8∶1D.2∶1A2max3Q43Q4RAt2、弯曲梁的剪应力强度计算三、弯曲梁的强度计算（1）剪应力强度条件ttZZbIS*maxQA2Q3maxt**几种常见截面梁的剪应力强度条件：矩形截面：圆形截面：圆环截面：tt*maxQZZSIdAQ2maxtA3Q4maxt工字钢截面：熟记**（2）弯曲梁的强度计算梁需满足ssmaxttmax梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题，一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。（设计）（校核）需要校核切应力的三种情况：①小跨度梁，或支座处附近作用大荷载；挑梁Fq②焊接或铆接的组合截面梁，腹板宽高比小于型钢；③木梁需要校核切应力的三种情况：例题：如图所示矩形截面外伸梁，已知截面宽b=100mm，截面高h=120mm，P=30kN，q=6kN/m,材料[s]=170MPa，[t]=100MPa，试校核梁的强度。解：（1）作内力图mkNM39maxkN17Qmax（2）校核梁的强度352104.26cmbhWZMPaWMZ5.162104.2103956maxmaxs∴安全（3）校核梁的剪应力强度MPa170maxssMPaA125.212010021017323Q3maxmaxtMPa100maxtt（2）校核梁的正应力强度四、提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的主要因素[s]1、更换材料：2、合理安排梁的受力情况：可提高4倍(1)合理布置支座(1)合理布置支座(2)合理布置荷载承载能力提高一倍A相同，WZ越大越好（1）矩形与方形矩形尽量竖放尽量用矩形不用方形3、梁的合理截面：WZ（2）方形与圆形尽量用方不用圆（4）脆性材料宜采用中性轴靠近受拉一侧的截面形状（3）面积A相同，改善截面形状，使WZ越大越好取最大弯矩设计截面尺寸，弯矩小处材料未能充分利用。4、等强度梁ssxWxMmax（1）变截面梁：截面大小沿轴线变化的梁（2）等强度梁：变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力。（3）等强度梁在工程实践中的具体应用①阳台挑梁②大跨度车间鱼腹梁③机械中的阶梯轴鱼腹梁强度计算弯曲应力小结ZIyMs最大正应力：zWMmaxmaxs（沿截面高度呈线性分布）最大切应力：ZZIbSQtZZIbSmaxmaxmaxQts①校核强度②选择截面尺寸③确定许可荷载ttmax矩形截面：ttA2Q3maxmax圆形截面：ttA3Q4maxmax圆环截面：ttAmaxmaxQ2弯矩M剪力FQ内力正应力s：切应力t：具体化弯曲梁的强度计算步骤：（1）作内力图，确定Qmax、Mmax，找出危险截面（2）找危险截面上的危险点，计算σmax、τmax（3）应用强度条件，进行三方面强度计算弯曲应力小结