电路(向量法)

第8章相量法复数8.1正弦量8.2相量法的基础8.3电路定律的相量形式8.4首页本章重点2.正弦量的相量表示3.电路定理的相量形式重点：1.正弦量的表示、相位差返回1.复数的表示形式)1(j为虚数单位FbReImao|F|bajFeFFj)sin(cos||||jbaFj||||jFeFFj||eFF下页上页代数式指数式极坐标式三角函数式8.1复数返回几种表示法的关系：abθbaFarctan||22或sin||cos||FbFa下页上页||||)sinj(cos||jjFeFFbaF返回FbReImao|F|2.复数运算①加减运算——采用代数式下页上页返回则F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2首尾相接②乘除运算——采用极坐标式若F1=|F1|1，F2=|F2|22121)j(212j2j1221121||||||||||||211θθ||F||FeFFeFeFθFθFFFθθθθ则:2121)(j21j2j1212121FFeFFeFeFFF下页上页模相乘角相加模相除角相减返回例1?2510475)226.4j063.9()657.3j41.3(原式569.0j47.1261.248.12解下页上页例2?5j20j6)(4j9)(1735220解2.126j2.180原式04.1462.203.56211.79.2724.1916.70728.62.126j2.180329.6j238.22.126j2.180365.2255.132j5.182返回③旋转因子复数ej=cos+jsin=1∠下页上页旋转因子返回j)2πsin(j)2πcos(,2π2πjej)2πsin(j)2πcos(,2π2πje1)πsin(j)πcos(,ππje特殊旋转因子ReIm0FFjFjF+j,–j,-1都可以看成旋转因子。注意FReIm0F•ej激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路(正弦稳态电路)称为正弦电路或交流电路。8.2正弦量1.正弦量瞬时值表达式i(t)=Imcos(wt+i)ti0T周期T和频率f频率f：每秒重复变化的次数。周期T：重复变化一次所需的时间。单位：赫(兹)Hz单位：秒sTf1正弦量为周期函数f(t)=f(t+kT)下页上页波形返回正弦电流电路1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义①正弦信号容易产生、传送和使用；②正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数。下页上页优点返回2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。结论对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。)cos()(kn1kkwtkAtftiOT(1)幅值(振幅、最大值)Im(2)角频率ω2.正弦量的三要素(3)初相位iTfπ2π2w单位：rad/s，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(wt+i)下页上页返回Im2iwt同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：|i|。i=0i=/2i=－/2下页上页iowti注意返回i=－/2i(t)=Imcos(wt+i)例已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，1.写出i(t)表达式；2.求最大值发生的时间t1tio10050t1解)10cos(100)(3ittiitcos1005003πi由于最大值发生在计时起点右侧)3π10cos(100)(3tti有最大值当3π1013tms047.1103π31＝＝t下页上页返回3.同频率正弦量的相位差设u(t)=Umcos(wt+u),i(t)=Imcos(wt+i)相位差：j=(wt+u)-(wt+i)=u-i规定：|j|(180°)下页上页等于初相位之差返回j0，u超前ij角或i滞后uj角(u比i先到达最大)；j0，u滞后i|j|角或i超前u|j|角(i比u先到达最大值）。|j||i|wtu,iui|u|oj＝0，同相j=(180o)，反相特殊相位关系wtuiowtuioj=/2：u领先i/2wtuio同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下页上页返回两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。例计算下列两正弦量的相位差。)30π100cos(10)()15π100sin(10)()2(0201ttitti)2ππ100cos(10)()4π3π100cos(10)()1(21ttitti)45π200cos(10)()30π100cos(10)()3(0201ttuttu)30π100cos(5)()30π100cos(3)()4(0201ttitti下页上页解000135)105(30j)105π100cos(100t不能比较相位差21ww000120)150(30j)150π100cos(30t结论返回π4π5)2π(4π34π3π24π5j4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义R直流IR交流ittiRWTd)(20TRIW2物理意义下页上页返回TttiTI02defd)(1定义电压有效值：TttuTU02defd)(1定义电流有效值：均方根值下页上页正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(wt+i)返回ttITITid)(cos1022mwTtttttTTiTi2121d2)(2cos1d)(cos0002wwmm2m707.0221IITITI)cos(2)cos()(miitItItiwwII2m同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU221mm或若交流电压有效值为U=220V，U=380V其最大值为Um311V，Um537V下页上页注意①工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。返回UUuIIi,,,,mm②交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。8.3相量法的基础1.问题的提出电路方程是微分方程：两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：)(dddd2tuutuRCtuLCCCC)cos(2111wtUu)cos(2222wtUu下页上页RLC+–uCiLu+–返回RLC串联电路下页上页返回123初相位U1U2U3有效值u1u1+u2u3u2角频率同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。正弦量复数变换的思想wtuu1u2ou3结论因此采用)cos(2111wtUu)cos(2222wtUu造一个复函数)j(2)(itIetFw对F(t)取实部)()cos(2)](Re[titItFiw任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。)j(2)()cos(2)(itIetFtItiiww)sin(2j)cos(2iitItIww无物理意义是一个正弦量有物理意义3.正弦量的相量表示下页上页结论返回F(t)包含了三要素：I、i、w。)j(2)()cos(2)(itIetFtItiiww下页上页返回F(t)包含了三要素：I、i、w。复常数包含了两个要素：I、i。F(t)还可以写成tteIeIetFiwwjj22)(j复常数正弦量对应的相量)cos(2)(iiIItItiw注意)cos(2)(uuUUtUtuw同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位下页上页返回复常数包含了两个要素：I、i。F(t)还可以写成tteIeIetFiwwjj22)(j复常数正弦量对应的相量)cos(2)(iiIItItiw注意)cos(2)(uuUUtUtuw同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位已知例1试用相量表示i,u.)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4.141oouti解V60220A,30100ooUI下页上页例2试写出电流的瞬时值表达式。解A)15314cos(250ti.50HzA,1550fI已知返回在复平面上用向量表示相量的图iiIItωIti)cos(2)(uuUUtUtuw)cos(2)(相量图下页上页iuUI+1+j返回U4.相量法的应用①同频率正弦量的加减)2Re()cos(2)(j1111teUtUtuwwjj1212jjj1212()()()Re(2)Re(2)Re(22)Re(2())tttttutututUeUeUeUeUUe21UUU相量关系为：下页上页结论同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。返回u1u2=u3321UUU)2Re()cos(2)(j2222teUtUtuww)cos(2wtU下页上页例V)60314cos(24)(V)30314cos(26)(o21ttuttuV604V306o2o1UUV)9.41314cos(264.9)()()(o21ttututu60430621UUU46.3j23j19.546.6j19.7V9.4164.9o返回+1+j301U602U9.41U首尾相接+1+j9.41U602U301U借助相量图计算j2Re2ReddddjjtteIeItti②正弦量的微分、积分运算)2Re()2Re()2Re()cos(2jjj)j(itttiIIeIeIeIetIiiiw微分运算积分运算2πjddiIItiww2πjdiIItiww下页上页返回tteIteItijjj2Red2Red例)cos(2)(itItiwd1dd)(tiCtiLRitu用相量运算：jjCIILIRUww①把时域问题变为复数问题；②把微积分方程的运算变为复数方程运算；③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下页上页Ri(t)u(t)L+–C相量法的优点返回CLRUUUU①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图相量图下页上页注意不适用线性线性w1w2非线性w返回8.4电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：iRiRIUII相量模型)cos(2)(itItiw)cos(2)()(RitRItRituwuR(t)i(t)R+–有效值关系相位关系R